Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 63 стр.

дифференцируема на интервале a , b  , то существует такая точка c  a , b ,                               
    для которой справедливо:
     f  b   f  a   f   c  b  a  .


               Производные и дифференциалы высших порядков

    Определение.             Второй             производной         функции              y  f x        называется
производная ее первой производной y    y  .
    Если физический смысл первой производной – есть скорость изменения
функции, то вторая производная определяет скорость изменения скорости
изменения функции, то есть ускорение. Аналогично определяется производная
любого порядка:
                  
     y   y ,..., y(n)  ( y(n1) ) .


    Примеры.
    1)   Если             y  x 5 , то          y   5x 4 , y  20 x 3 ,      y  60 x 2    и так далее.
Заметим, что
    производные высших порядков степени с натуральным показателем
обращаются в ноль, если порядок производной выше показателя степени.
    2) Если y  sin x , то

     y  cos x , y   sin x ,         y   cos x , y IV  sin x,..., y ( n )  sin( x 
                                                                                                   n).
                                                                                                  2


    Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

      Дифференциал второго порядка – это дифференциал от дифференциала, т.к.
df ( x)  f ( x)' dx , тогда
                            d 2 f ( x)  d (df ( x))  (df ( x))' dx  ( f '( x)dx)' dx ,
     dx – бесконечно малое приращение, не зависящее от x, поэтому производная
от dx вычисляется, как от постоянной. Т.е.

                                        d 2 f ( x)  ( f ' ( x))'dx 2  f "( x) dx 2 .

    Подобным образом получим d n f ( x)  f ( n) ( x) dx n .



                                                          63