Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

61
3.
3
arcsin ,
1
x
y
x




12
2
12
322
1
12
3
1
1
1
1
23
3
23
33
3
3
2
3
3
2
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
y
.
Дифференцирование неявно заданных функций
Если функция задана неявно, перед дифференцированием следует
определиться, какую переменную считать аргументом. Пусть
9
22
yx
.
Считаем
x
назависимой переменной,
y
функцией. Можно из уравнения
определить
2
9 xy
и
2
9yx
, тогда
22
992
2
x
x
x
x
y
и
. Но можно поступить по-другому. Дифференцируем обе части
уравнения
9
22
yx
по переменной
x
, используя при этом правило
дифференцирования сложных функций:
22
9 2 2 0
x
x
x y x y y
,
откуда следует
x
y
y

.
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть
ty
ttx
cos12
sin2
, тогда
ttyttx sin2)(',cos12)('
и
'( )
sin
'( )
'( ) 1 cos
dy y t
t
yx
dx x t t
.
«Логарифмическое» дифференцирование
Здесь имеется ввиду дифференцирование с предварительным
логарифмированием функции. Пусть
tgx
xy
. При вычислении производной нет
возможности использовать таблицу производных, так как эта функция не является
ни степенной, ни показательной. Прологарифмируем обе части уравнения
ln ln ln tg ln
tgx
y x y x x
. В результате от явного задания функции перешли
к неявному, при этом функция стала более удобной для дифференцирования. В 
                                       x
     3.         y  arcsin              ,
                                 x3  1 
                                        
                                               3x 2
                                x 1 
                                    3
                                                         x
                    1                          2 x 1
                                                 3                2 x 3  2  3x 3                   x3  2
      y                                                                                                        .
                        x   2               x 1
                                             3
                                                                 2 x 1 x
                                                                       3              2
                                                                                                   2 x  x 1
                                                                                                      3       2
               1
                    x 13




                    Дифференцирование неявно заданных функций

    Если функция задана неявно, перед дифференцированием следует
определиться, какую переменную считать аргументом. Пусть       x2  y2  9 .
Считаем x назависимой переменной, y  функцией. Можно из уравнения
                                                      2x          x
определить y   9  x 2 и y  9  x2 , тогда y                        и
                                                    2 9  x2    9  x2
              x
y               . Но можно поступить по-другому. Дифференцируем обе части
            9  x2
уравнения        x2  y2  9            по переменной                 x , используя при этом правило
                                                                                                  
дифференцирования                   сложных           функций:             x   2
                                                                                     y2      9
                                                                                               x       x
                                                                                                            2 x  2 y  y  0 ,
                                x
откуда следует y               .
                                y

            Дифференцирование функций, заданных параметрически

                                 x  2t  sin t 
     Пусть                                          ,   тогда             x' (t )  21  cost  ,          y' (t )  2 sin t   и
                                 y  21  cos  t 
            dy y '(t )   sin t
y '( x)                      .
            dx x '(t ) 1 cos t


                            «Логарифмическое» дифференцирование

     Здесь     имеется    ввиду       дифференцирование       с   предварительным
логарифмированием функции. Пусть y  x . При вычислении производной нет
                                              tgx

возможности использовать таблицу производных, так как эта функция не является
ни степенной, ни показательной. Прологарифмируем обе части уравнения
             
ln y  ln xtgx  ln y  tgx ln x . В результате от явного задания функции перешли
к неявному, при этом функция стала более удобной для дифференцирования. В
                                                             61

Страницы