Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 59 стр.

    Следовательно,
                                                                      1
                                              g ( y0 )                       .
                                                                f ( g ( y0 ))


              Производная параметрически заданной функции
                       x   t 
                      
       Пусть                      , t [t1, t2 ] ,        причем                 обе       функции         (t )    и
                       y   
                                t
 (t ) дифференцируемы в точке t0  (t1, t2 ),                             (t0 )  0,  (t0 )  x0 ,  t0   y0 .
            dy
Вычислим       в точке x0 .
            dx
                               y         y
                      y            lim
     y '( x0 )  lim      lim t  t 0 t  y '(t0 ) .
                 x0 x x0 x
                                    lim x x '(t0 )
                               t t 0 t
                       y '(t )
    Итак, y '( x)             .
                       x '(t )

                                      Таблица производных

     C   0 , если              x    x      1                  sin x   cos x          cos x   sin x
 C  постоянная

      tgx   12                 ctgx           1
                                                                          arctgx           1
                                                                                                     arcctgx        1
               cos x                                sin 2 x                                  1 x2                     1 x2

     arcsin x         1
                                   arccosx                 1
                                                                          a   a
                                                                              x         x
                                                                                            ln a     e   e
                                                                                                       x         x

                       1 x2                                1 x2

     log a x                   ln x   1
                                                x
       1             1
       log a e 
       x          x ln a


    Докажем некоторые из этих формул.
    1. Если y  C , то y  0 , и первая формула доказана.
    2. Пусть y  x , тогда




                                                           59