Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

50
В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM,
сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место
между площадями этих фигур:
ABM сектABM ABD
S S S


. Имеем
1 1 1
sin , , tg
2 2 2
ABM сектABM ABD
S x S x S x

. Поэтому получаем неравенство
sin tgx x x
. Если мы поделим все части этого неравенства на
sin x
, то в силу
предположения о знаке
x
знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем
1
1
sin cos
x
xx

. А теперь устремим
x
к нулю и применим теорему о двух
полицейских. Мы получим
0
lim 1
sin
x
x
x
. Осталось применить свойство 5) пределов
для получения предела обратной величины:
.
Второй замечательный предел и его следствия
Справедливы следующие формулы, называемые вторым замечательным
пределом:
1
0
1
lim 1 , lim 1 , 2,71...
x
x
e e e
x





Равносильность этих формул следует из связи переменных:
1
x
.
Мы получали число Непера
e
из подобной формулы, где была
последовательность, а не функция. Заметим, что здесь в первой из приведенных
формул переменная
x
может стремиться как к

, так и к

, а также может
просто расти по абсолютной величине, меняя знак произвольно. Приведенная
формула имеет следующие следствия.
1. Если мы формально прологарифмируем вторую из приведенных формул,
мы получим 1-е следствие второго замечательного предела:
0
ln(1 )
lim 1
t
t
t
.
2. Другим следствие второго замечательного предела является предел,
получаемый из предыдущего заменой
ln(1 )zt
: 
         В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM,
сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место
между        площадями        этих       фигур:       SABM  SсектABM  SABD . Имеем
          1                 1            1
SABM  sin x, SсектABM  x, SABD  tg x . Поэтому получаем неравенство
          2                 2            2
sin x  x  tg x . Если мы поделим все части этого неравенства на sin x , то в силу
предположения о знаке x знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем
      x       1
1                . А теперь устремим x к нулю и применим теорему о двух
    sin x cos x
                                     x
полицейских. Мы получим lim    x0 sin x
                                          1 . Осталось применить свойство 5) пределов
                                                      sin x
для получения предела обратной величины: lim       x0 x
                                                             1.




                 Второй замечательный предел и его следствия

    Справедливы следующие формулы, называемые вторым замечательным
пределом:
                     x                    1
             1                          
     lim 
         1             e , lim 1    e , e  2,71...
     x
             x               0

                                                                        1
    Равносильность этих формул следует из связи переменных:             .
                                                                        x
    Мы получали число Непера e из подобной формулы, где была
последовательность, а не функция. Заметим, что здесь в первой из приведенных
формул переменная x может стремиться как к  , так и к  , а также может
просто расти по абсолютной величине, меняя знак произвольно. Приведенная
формула имеет следующие следствия.

    1. Если мы формально прологарифмируем вторую из приведенных формул,
мы получим 1-е следствие второго замечательного предела:
         ln(1  t )
    lim
    t 0
                     1.
             t
     2. Другим следствие второго замечательного предела является предел,
получаемый из предыдущего заменой z  ln(1 t ) :


                                                  50

Страницы