Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

75
Исследование функции, построение ее графика
Алгоритм исследования.
I. Исследование самой функции. Необходимо установить
1) Область определения функции, ее особые точки, вертикальные
асимптоты.
2) Точки пересечения кривой с осями координат
3) Функция четная, нечетная или общего вида
4) Функция периодическая или не периодическая
II. Исследование производной функции. Необходимо определить
1) Точки максимума и минимума функции
2) Интервалы возрастания и убывания функции
III. Исследование второй производной
1) Точки перегиба
2) Интервалы выпуклости и вогнутости функции
IV. Исследование поведения функции при
x
. Наклонные асимптоты.
В качестве примера рассмотрим функцию
2
4
.
1
x
y
x
I.
1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть
;
.
Следовательно, у этой кривой нет особых точек, нет и вертикальных асимптот.
2. Кривая пересекает оси координат в начале координат. Следовательно,
первая характерная точка графика
0;0
.
3. Кривая нечетная:
1
4
1
4
22
x
x
x
x
, следовательно, она симметричная
относительно начала координат.
4. Функция непериодическая.
II. 1. Определим первую производную
2
2
2
2
2
2
1
14
1
214
x
x
x
xxx
y
,
приравниваем ее нулю, откуда получаем еще две характерные (критические)
точки
1x
,
1x
, координаты этих точек на плоскости
,
1;1
.
Рассмотрим первую из этих точек
1x
, левее ее производная
0
y
, правее 
               Исследование функции, построение ее графика

    Алгоритм исследования.
    I.    Исследование самой функции. Необходимо установить

    1)     Область определения функции, ее особые точки, вертикальные
асимптоты.

    2)      Точки пересечения кривой с осями координат

    3)      Функция четная, нечетная или общего вида

    4)      Функция периодическая или не периодическая


    II.      Исследование производной функции. Необходимо определить

    1)      Точки максимума и минимума функции

    2)      Интервалы возрастания и убывания функции


    III.    Исследование второй производной

    1)      Точки перегиба

    2)      Интервалы выпуклости и вогнутости функции

    IV.     Исследование поведения функции при x   . Наклонные асимптоты.

                                                       4x
    В качестве примера рассмотрим функцию y                .
                                                      x2 1
    I.
    1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть   ;  .
Следовательно, у этой кривой нет особых точек, нет и вертикальных асимптот.
    2. Кривая пересекает оси координат в начале координат. Следовательно,
первая характерная точка графика 0 ; 0 .
                            4 x         4x
    3. Кривая нечетная:                     , следовательно, она симметричная
                           x 2  1 x 2  1
относительно начала координат.
    4. Функция непериодическая.
    II. 1. Определим первую производную             y 
                                                                
                                                         4 x 2  1  2 xx
                                                                          
                                                                                   
                                                                             4 x2  1
                                                                                      ,
                                                                                            
                                                              x 1
                                                               2
                                                                    2
                                                                               
                                                                              x 1
                                                                               2    2
                                                                                        
приравниваем ее нулю, откуда получаем еще две характерные (критические)
точки x  1, x  1 , координаты этих точек на плоскости  1 ;  1 , 1 ; 1 .
Рассмотрим первую из этих точек x  1, левее ее производная y  0 , правее
                                          75

Страницы