Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 76 стр.

 y  0 , следовательно, это точка минимума функции. Левее точки x  1
производная y  0 правее она отрицательна, значит это точка максимума
функции.
      2. Знак первой производной определяется выражением  x 2  1 ,                                                                           
следовательно, она положительна на интервале  1 ; 1 , в остальных областях она
отрицательна. Итак, функция убывает на интервале   ;  1 , возрастает на
интервале  1 ; 1 , затем опять убывает на 1 ;   .
      III. 1. Определяем вторую производную функции:

          y   4
                               
                                2
                                             
                     2x x 2  1  4x x 2  1 x2  1                       8x x   2
                                                                                           1  2x 2  2
                                                                                                                     
                                                                                                                           
                                                                                                                         8x x 2  3         .
                                    x   2
                                             1  4
                                                                                              x   2
                                                                                                       1   
                                                                                                            3
                                                                                                                          x   2
                                                                                                                                   1  3



    Приравниваем производную нулю и получаем еще три характерные точки
функции, одна из которых x  0 уже известна. Две другие x   3 и x  3 . На
координатной плоскости они имеют координаты  3 ;  3 ,          3 ; 3 . Знак                                                        
второй производной определяется ее числителем. Левее точки x   3 она
отрицательна, правее y  0 . Следовательно, это точка перегиба. Левее точки
x  0 имеем y  0 , правее y  0 ., еще одна точка перегиба. Левее точки x  3
получаем y  0 , правее y  0 , третья точка перегиба.
     2. Поскольку других точек, в которых вторая производная меняет знак у
функции нет, можно утверждать, что на интервале   ;  3 кривая выпуклая,                                     
                           
на интервале  3 ; 0 кривая вогнутая, на интервале 0 ; 3                                                               кривая             опять
выпуклая и, наконец, на интервале 3 ;  - вогнутая.                  
     IY. Определяем наклонные асимптоты кривой, уравнение асимптоты
y  kx  b , причем
                                      f x          4x             4
                            k  lim           lim 2        lim 2        0,
                                 x x         x x  1 x        
                                                             x x  1                                    
                                              4x             4x                 4
             b  lim  f x   kx  lim 2         lim             lim              0,
                 x                  x x  1      
                                                     x 2       
                                                                1  x 
                                                         x 1  2 
                                                                                  1 
                                                                           x 1  2 
                                                               x               x 
     Поскольку уравнение асимптоты y  0 , асимптотой функции является ось
OX .
     В итоге график функции имеет вид




                                                                  76