Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

79
Неопределенный интеграл
Первообразная, множество первообразных
Определение. Первообразной функции
()fx
называется функция
Fx
,
производная которой равна
fx
, т.е.
   
'F x f x
.
Поскольку
 
 
'F x C f x
, где
C
постоянная, первообразных
функции
fx
бесчисленное множество.
Теорема. Любые две первообразные функции
fx
могут отличаться
только на постоянную. Другими словами, если
   
'F x f x
и
,
то
Const.F x x C
Доказательство: Обозначим
( ) ( ) ( )x F x x
Согласно предположению
'( ) 0.x
Следовательно,
,ab
имеем:
( ) ( ) (формула Лагранжа)ba
'( )( ) 0c b a
( ) ( ) Constba
.
Определение. Множество всех первообразных одной функции называется
неопределенным интегралом этой функции и обозначается
f x dx
, причем
()fx
называется подынтегральной функцией,
()f x dx
подынтегральным
выражением. Очевидно, что если
'( ) ( )F x f x
, то
()f x dx F x dx F x С

, где
С
произвольная постоянная
интегрирования, то есть постоянная может принимать любые значения.
Приведем таблицу неопределенных интегралов с проверкой того, что
действительно производная от правой части совпадает с подынтегральной
функцией.
1.
0.dx C
'0C
.
2.
.dx x C
' 1.xC
3.
1
( 1).,
1
n
n
n
x
x dx C
n

'
1
1
n
n
x
Cx
n




. 
                               Неопределенный интеграл

                   Первообразная, множество первообразных
     Определение. Первообразной функции f ( x ) называется функция F  x  ,
производная которой равна f  x  , т.е. F '  x   f  x  .
     Поскольку          F  x  C '  f  x,     где    C  постоянная,     первообразных
функции f  x  бесчисленное множество.
     Теорема. Любые две первообразные функции          f  x  могут отличаться
только на постоянную. Другими словами, если F '  x   f  x  и   x   f  x  ,
то F  x     x   C  Const.
    Доказательство: Обозначим ( x )  F ( x )   ( x ) Согласно предположению
 '( x )  0. Следовательно,  a, b имеем:
                         (b)  ( a)  (формула Лагранжа) 
       '(c)(b  a)  0           (b)  (a)  Const .

     Определение. Множество всех первообразных одной функции называется
неопределенным интегралом этой функции и обозначается
                                                                            f  x  dx , причем
f ( x)называется подынтегральной функцией,                         f ( x ) dx  подынтегральным
выражением.     Очевидно,     что     если                               F '( x )  f ( x ) , то

 f  x  dx   F   x  dx  F ( x )  С ,        где     С  произвольная       постоянная
интегрирования, то есть постоянная может принимать любые значения.


     Приведем таблицу неопределенных интегралов с проверкой того, что
действительно производная от правой части совпадает с подынтегральной
функцией.


    1.  0  dx  C.                                   C  '  0 .
    2.  dx  x  C.                                    x  C  '  1.
                      n 1
                                                        x n 1     
                                                                      '
                  x
         
    3. x dx                  C , ( n  1).
             n
                                                                    x .
                                                                        n

                 n 1                                   n 1     C
                                                                   
                                                79

Страницы