Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 81 стр.

                                                                ln x                      
                                                                                            '
             dx
                     ln x       x k                                    x k C
                                     2                                        2


   18.       x k
             2


                                                                       1
       C.                                                                   .
                                                                     x k
                                                                       2




    При интегрировании функций мы будем проверять результат с помощью
пакета математических программ MAXIMA. Чтобы сосчитать с помощью
компьютера
                  f ( x)dx ,      мы должны ввести на экран задание в виде
integrate(f(x),x) и нажать одновременно клавиши Shift и Enter. Компьютер
содержит все известные формулы и приемы интегрирования, в том числе, таблицу
интегралов. Ответ компьютер выдает в следующей после задания строке, но без
произвольной постоянной C. Следует помнить, что некоторые математические
функции имеют отличное от привычного выражение, например, tg заменен на tan,
ctg – на cot, arctg – на atan. Функция ln имеет представление log, а логарифмы по
основаниям, отличным от числа e, не рассматриваются, либо должны быть
приведены к основанию e. Замечательные числа, такие как то же e, записываются
со значком % перед ними. То есть, e записывается как %e, π – как %pi. Все
функции записываются с маленькой буквы и переменные в функциях вводятся в
скобках. Например, sin x запишется как sin(x). Знак умножения вводится знаком
*. Степень вводится при помощи значка ^.


                                Приемы интегрирования

    1.     Тождественные преобразования подынтегрального выражения и
сведение к табличным интегралам

    Из свойства производной
                            k  f ( x)  l  g ( x) '  k  f '( x)  l  g '( x)
    следует аналогичное свойство для неопределенных интегралов
                      k  f ( x)  l  g ( x) dx  k   f ( x) dx  l   g ( x) dx .
                                    x2
    Пример 1. Вычислить             x3 dx . Деля почленно числитель на знаменатель,
представляя интеграл от разности в виде разности интегралов и вынося
постоянный сомножитель за знак интеграла, получим в соответствии с таблицей
     x2                                                           x1     x2
     x3                                             
                      2       3            2            3
          dx     ( x     2 x    ) dx    x    dx  2   x    dx       2     C 
                                                                   1      2       .
     x2  x1  C.
    Проверим решение. Запишем на экране задание integrate((x-2)/x^3,x) и
нажмем клавиши Shift+Enter.
                                                  81