Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

82
Пример 2. Вычислить
22
sin cos
dx
xx
. Воспользуемся тождеством
22
1 cos sinxx
. Тогда получим
22
2 2 2 2 2 2 2 2
1 cos sin
sin cos sin cos sin cos sin cos
ctg tg .
dx x x dx dx
dx dx
x x x x x x x x
x x C

Чтобы проверить результат с помощью компьютера, введем задание
integrate(1/(sin(x)*cos(x))^2,x) и нажмем Shift+Enter.
2. Замена переменной в интеграле
Докажем, что если
( ) ( )F x C f x dx
, то
( ( )) '( ) ( ( ))f t t dt F t C
.
Доказательство. Имеем:
( ( ) )' ( )F x C f x
. Следовательно, согласно
правилу дифференцирования сложной функции
( ( ( )) )' '( ( )) '( ) ( ( )) '( )F t C F t t f t t
.
Формулу интегрирования заменой переменной можно записать в виде
()
( ) ( ( )) '( ) .
'( )
xt
f x dx f t t dt
dx t dt





После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти
от новой переменной интегрирования
назад к старой переменной
x
.
При подходящей замене переменной мы сводим заданный интеграл к
табличному.
Пример 1. Найти
sin
cos
x
e xdx
. Здесь
sin , cost x xdx dt
. Следовательно,
в соответствии с тем, что
tt
e dt e C
, имеем
sin sin
cos
xx
e xdx e C
.
Проверим решение с помощью компьютера: введем
integrate(%e^(sin(x))*cos(x),x) и нажмем Shift+Enter.
Пример 2. Найти
tgxdx
. Сделаем замену
cos , sint x dt xdx
. Тогда
tg
sin sin
ln| | ln|cos | .
cos cos
xdx
x xdx dt
dx t C x C
x x t
.
Проверим решение с помощью компьютера: введем 
                                                  dx
     Пример 2. Вычислить                  sin2 x  cos2 x . Воспользуемся тождеством
1  cos x  sin x .                   Тогда получим
          2          2


       dx                          cos2 x  sin 2 x        dx      dx
                                                                         
                      1
 sin x  cos x sin x  cos x
     2       2
                   2      2
                              dx 
                                   sin x  cos x
                                      2       2
                                                    dx 
                                                         sin x  cos2 x
                                                            2
                                                                       

 ctgx  tgx  C.

     Чтобы проверить результат с помощью компьютера, введем задание
integrate(1/(sin(x)*cos(x))^2,x) и нажмем Shift+Enter.


   2.      Замена переменной в интеграле


     Докажем,                      что                если           F ( x )  C   f ( x ) dx ,        то

 f ( (t ))   '(t )dt  F ( (t ))  C .
    Доказательство. Имеем: ( F ( x)  C ) '  f ( x) .                          Следовательно,      согласно
правилу дифференцирования сложной функции

        ( F ( (t ))  C ) '  F '( (t ))   '(t )  f ( (t ))   '(t ) .

     Формулу интегрирования заменой переменной можно записать в виде
                                              x   (t ) 
                                f ( x ) dx  
                                              dx   '( t ) dt
                                                                   f ( (t ))   '(t ) dt.
                                                                
     После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти
от новой переменной интегрирования t назад к старой переменной x .
      При подходящей замене переменной мы сводим заданный интеграл к
табличному.
     Пример 1. Найти  esin x cos x dx . Здесь t  sin x, cos xdx  dt . Следовательно,
в соответствии с тем, что  et dt  et  C , имеем  esin x cos x dx  esin x  C .

     Проверим решение с помощью компьютера: введем
     integrate(%e^(sin(x))*cos(x),x) и нажмем Shift+Enter.

     Пример 2. Найти  tgx dx . Сделаем замену t  cos x, dt   sin xdx . Тогда
               sin x             sin xdx     dt
 tgx dx   cos xdx            cos x
                                             ln | t | C   ln | cos x | C. .
                                             t

     Проверим решение с помощью компьютера: введем
                                                             82

Страницы