Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

83
integrate(tan(x), x) и нажмем Shift+Enter.
Пример 3. Найти
2
x
e xdx
. Сделаем замену
2
xt
. Тогда
2xdx dt
и
22
.
1 1 1
2 2 2
x t t x
e xdx e dt e C e C


Проверим решение с помощью компьютера: введем
integrate(%e^(-x^2)*x, x) и нажмем Shift+Enter.
3. Интегрирование по частям
Пусть
()u u x
,
()v v x
– функции, имеющие непрерывные производные.
Тогда
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) .u x v x dx u x v x v x u x dx C

(или
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x dv x u x v x v x du x

).
Доказательство. Справедливы соотношения:
и
( ( ) ( ))' ( ) '( ) '( ) ( ) .u x v x dx u x v x dx u x v x dx
Сравнивая правые части, получим приведенную выше формулу.
Пример 1. Найти
x
e xdx
. Обозначим
( ), ( )
x
x u x v x e
. Тогда
( ) , ( ) 1
x
v x e u x
. Применяя формулу интегрирования по частям, получим
( 1)
x x x x
e xdx x e e dx e x C

.
Проверим решение помощью компьютера: введем
integrate(%e^x*x, x) и нажмем Shift+Enter.
Пример 2. Найти
2
(ln )x dx
В этом примере мы применим метод
интегрирования по частям дважды:
2
2 2 2
2
2
1
(ln ) , 2ln ,
(ln ) (ln ) 2 ln (ln )
1,
1
ln ,
2 ln (ln ) 2( ln )
1,
(ln ) 2 ln 2 .
u x u x
x
x dx x x x dx x x
x
x
v v x
u x u
x
xdx x x x x dx
x
x
v v x
x x x x x C















Проверим решение с помощью компьютера: введем
integrate((log(x))^2, x) и нажмем Shift+Enter. 
    integrate(tan(x), x) и нажмем Shift+Enter.

    Пример 3. Найти  e x xdx . Сделаем замену  x2  t . Тогда 2xdx  dt и
                                       2


                          1 t         1          1 2
    e                      
          x2
                xdx         e dt   et  C   e x  C.
                          2           2          2

    Проверим решение с помощью компьютера: введем
    integrate(%e^(-x^2)*x, x) и нажмем Shift+Enter.

  3. Интегрирование по частям
    Пусть u  u ( x ) , v  v( x ) – функции, имеющие непрерывные производные.
Тогда
                             u( x)  v '( x)dx  u ( x)  v( x)  v( x)  u '( x)dx  C.
                               (или  u ( x) dv( x)  u ( x )v ( x )   v ( x ) du ( x ) ).
    Доказательство. Справедливы соотношения:
                                      (u( x)  v( x)) ' dx  u( x)  v( x)  C и
                           (u( x)  v( x)) ' dx   u( x)  v '( x) dx   u '( x)  v( x) dx.
    Сравнивая правые части, получим приведенную выше формулу.

    Пример 1. Найти  e x x dx . Обозначим x  u( x), v( x)  e x . Тогда
v( x)  ex , u( x)  1. Применяя формулу интегрирования по частям, получим
                                e x dx  x  e   e dx  e (x 1)  C .
                                  x            x     x      x



    Проверим решение помощью компьютера: введем
    integrate(%e^x*x, x) и нажмем Shift+Enter.

    Пример 2. Найти  (ln x)2 dx В этом примере мы применим метод
интегрирования по частям дважды:
                                                     1 
                           u  (ln x)2 , u  2ln x  ,                           x
      (ln x)        dx                             x   x  (ln x)2  2    ln x xdx  x  (ln x)       
                 2                                                                                      2

                                 v  1, v  x        
                                    1
                      u  ln x, u                                       x
     2    ln xdx                 x   x  (ln x)2  2( x ln x        xdx) 
                      v  1, v  x 
      x  (ln x)2  2 x ln x  2 x  C.

    Проверим решение с помощью компьютера: введем
    integrate((log(x))^2, x) и нажмем Shift+Enter.
                                                        83

Страницы