Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 85 стр.

прямоугольников к площади исходной криволинейной трапеции с основанием
[a, b] .
      Итак, за приближенное значение площади исходной криволинейной
                                                   n
трапеции возьмем  ( f , R,  )   f (i )( xi 1  xi ) . Здесь R означает способ выбора
                                                  i 1
точек разбиения xi ,  – выбор отмеченных точек i . Введенная сумма называется
интегральной суммой Римана. Если существует предел    lim0 ( f , R, )  I , причем
этот предел не зависит ни от R , ни от  , то функция f ( x) называется
интегрируемой на отрезке [a, b] , а сам предел называется интегралом Римана по
                                              b
отрезку и обозначается                        a f ( x) dx .   Этот интеграл и будет равен площади

криволинейной трапеции с основанием [a, b] , ограниченной кривой y  f ( x) .

    Любая непрерывная на отрезке функция является интегрируемой на этом
отрезке. Хотя класс интегрируемых по Риману функций значительно шире, чем
класс непрерывных функций, мы будем рассматривать только интегралы от
непрерывных функций.
    Пока непонятно, почему площадь криволинейной трапеции назвали
интегралом – так же, как множество первообразных. Не видно связи между
этими объектами. Тем не менее, связь есть. Отметим пока следующие из свойств
сумм и пределов

                      Свойства интеграла Римана.
1.   Линейность. Если функции f ( x) и g ( x) интегрируемы на отрезке [a, b] , 
и  – произвольные постоянные, то функция   f ( x)    g ( x) интегрируема на
                                  b                                   b        b
отрезке [a, b] , причем  (  f ( x)    g ( x)) dx    f ( x) dx    g ( x) dx .
                                  a                                   a        a
2. Аддитивность. Если функция f ( x) интегрируема на отрезке [a, b] , c [a, b] ,
то   f ( x) интегрируема   на     отрезках    [a, c]  и    [c, b] ,    причем
b             c               b

a f ( x) dx a f ( x) dx  c f ( x) dx .              Следствием этой формулы можно считать
                       b                  a
соотношение             f ( x) dx   f ( x) dx .       То есть, замена направления интегрирования
                       a                  b
приводит к замене знака у интеграла.

3. Сохранение неравенства. Если f ( x)  g ( x) всюду на [a, b] , то
                   b                  b

                   a f ( x)dx  a g ( x)dx .
    Следствие. Если M и m есть соответственно наибольшее и наименьшее
    значения функции f ( x) на отрезке [a, b] , то
                                                                85