Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

86
() ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
4. Теорема о среднем. Для любой непрерывной на отрезке
[ , ]ab
функции
()fx
существует такая точка
0
[ , ]x a b
, что
0
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx f x b a
. То есть, существует
равновеликий криволинейной трапеции прямоугольник на том же основании с
высотой, равной значению функции в промежуточной точке.
Формула Ньютона-Лейбница
Предположим, что функция
()fx
непрерывна на отрезке
[ , ]ab
. Будем
рассматривать интегралы от этой функции на отрезках
[ , ]at
при всевозможных
[ , ]t a b
. Очевидно, что результат интегрирования зависит от значения верхнего
предела интегрирования. Поэтому обозначим
. Имеем
( ) 0, ( ) ( )
b
a
I a I b f x dx
.
Рассмотрим
( ) ( ) ( )
tt
t
I t t I t f x dx

. В соответствии с теоремой о среднем
существует такое значение
(0,1)
, что
( ) ( )
tt
t
f x dx f t t t

.
Следовательно,
( ) ( )
()
I t t I t
f t t
t
. Переходя в последнем равенстве к
пределу при
0t
и пользуясь непрерывностью функции
()fx
в точке
[ , ]t a b
,
получим
( ) ( )I t f t
.
Последнее означает, что функция
()Ix
является первообразной для функции
()fx
. Следовательно, если
()x
– любая первообразная функции
()fx
, то
( ) ( )x I x C
по свойству двух первообразных одной и той же функции.
Следовательно,
()aC
, так как
( ) 0Ia
, и
( ) ( )
b
a
b f x dx C
. Значит,
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx b a
. 
                                    b
                       m  (b  a)   f ( x)dx M  (b  a)
                                    a
4. Теорема о среднем. Для любой непрерывной на отрезке [a, b] функции f ( x)
                                                        b
существует такая точка x0 [a, b] , что                 a f ( x) dx  f ( x0 )  (b  a) . То есть, существует
равновеликий криволинейной трапеции прямоугольник на том же основании с
высотой, равной значению функции в промежуточной точке.




                                   Формула Ньютона-Лейбница

     Предположим, что функция f ( x) непрерывна на отрезке [a, b] . Будем
рассматривать интегралы от этой функции на отрезках [a, t ] при всевозможных
t [a, b] . Очевидно, что результат интегрирования зависит от значения верхнего
                                                                                           t
предела        интегрирования.              Поэтому              обозначим         I (t )   f ( x) dx .   Имеем
                                                                                           a
                   b
I (a)  0, I (b)   f ( x) dx .
                   a
                                              t t
     Рассмотрим I (t  t )  I (t )          t     f ( x)dx . В соответствии с теоремой о среднем
                                                                             t t
существует         такое       значение            (0,1) ,       что        t     f ( x) dx  f (t   t ) t .

                    I (t  t )  I (t )
Следовательно,                            f (t   t ) . Переходя в последнем равенстве к
                            t
пределу при t  0 и пользуясь непрерывностью функции f ( x) в точке t [a, b] ,
получим I (t )  f (t ) .
       Последнее означает, что функция I ( x) является первообразной для функции
 f ( x) . Следовательно, если ( x) – любая первообразная функции f ( x) , то
( x)  I ( x)  C по свойству двух первообразных одной и той же функции.
                                                                         b
Следовательно, (a)  C , так как I (a)  0 , и (b)   f ( x) dx  C . Значит,
                                                                         a
                                        b

                                        a f ( x) dx (b)  (a) .

                                                            86

Страницы