Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 87 стр.

      Последняя формула, называемая формулой Ньютона-Лейбница, как раз
обеспечивает связь между интегралом Римана (его еще называют определенным
интегралом) и первообразными. Формулу Ньютона-Лейбница еще записывают в
виде
                                  b

                                  a f ( x) dx ( x) a ,
                                                       b



    где вертикальная черта и индексы обозначают разность значений функций,
соответственно, при верхнем и нижнем значениях переменной.


                           Приложения интеграла Римана

    Интеграл Римана по отрезку был нами введен как площадь криволинейной
трапеции. Понятие площади неотделимо от понятия интеграла. С его помощью
можно вычислять площади любых плоских областей, а также длины дуг, площади
поверхностей и объемы тел.

    1.Вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми
y  f1( x) и y  f 2 ( x) и над отрезком [a, b] , причем f1(a)  f 2 (a), f1(b)  f 2 (b) .




    Очевидно, что площадь области между кривыми равна разности площадей
соответствующих криволинейных трапеций, поэтому
               b
          S   [ f 2 ( x)  f1( x)]dx .
               a
    2. Вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами
(в полярных координатах)    и    , а также заданной в полярных
координатах кривой r  f ( ),      .
    Проведем внутри криволинейного сектора лучи   k , k  1,..., n 1,
разбивающие исходный сектор на мелкие криволинейные секторы k    k 1 ,
причем 0   , n   .




                                                  87