Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 89 стр.

 ( xi1  xi )2  ( f ( xi1)  f ( xi ))2 . Воспользуемся формулой конечных приращений
Лагранжа и получим длину этой же хорды в виде
        ( xi1  xi )2  [ f (i1)( xi1  xi )]2  1 f (i1)2 xi , где i [ xi , xi1] ,
       xi  xi1  xi . Таким образом, длина дуги всей кривой может быть
                                    n
приближена суммой                  1 f (i1)2 xi ,
                                   i 1
                                                                причем чем мельче разбиение отрезка
[a, b], тем точнее результат. При стремлении длины наименьшего из отрезков
                                                                         b
разбиения к нулю мы получим из суммы интеграл:                            1 f ( x) dx , который и дает
                                                                                     2
                                                                         a

выражение длины дуги данной кривой.
    4. Вычислить длину дуги пространственной                                       кривой,     заданной
параметрически в виде
                      x  x(t ), y  y(t ), z  z(t ), t [t0,T  ,
    для вычисления ее длины применяют формулу
                                   T
                               S   x(t )2  y(t )2  z(t )2 dt .
                                   t0


       При вычислении интегралов Римана можно использовать пакет программ
                                                       b
MAXIMA.                  Для     получения             a f ( x) dx     необходимо    ввести    команду

integrate(f(x),x,a,b) и нажать Shift+Enter.


            Несобственный интеграл по бесконечному промежутку
       Просматривая математические тексты, нетрудно наткнуться на выражения
                                           
вида    
       
            f ( x) dx,    
                         
                              f ( x) dx или   
                                              
                                                   f ( x) dx . С точки зрения введенного нами понятия

интеграла Римана по отрезку приведенные интегральные выражения
представляются бессмыслицей. Действительно, мы не сможем составить ни одной
интегральной суммы, так как никогда не кончим разбивать бесконечный
промежуток на конечные отрезки и выбирать на них отмеченные точки. И тем
более, мы не сможем рассматривать последовательности интегральных сумм,
соответствующих последовательностям таких разбиений с диаметрами разбиений,
стремящимся к нулю. Что же понимают под такими интегралами?
       Приведенные интегралы называются несобственными интегралами по
бесконечному промежутку и определяются они при помощи интегралов Римана
по конечным отрезкам следующим образом.
       Пусть функция f ( x) интегрируема на любом конечном отрезке [ , b] ,
                                                                             b
b   . То есть для любого b   существует I (b)   f ( x) dx . Если существует
                                                                             


                                                           89