Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 90 стр.

                                                                     
конечный предел lim I (b) , то такой предел обозначают
                b                                                  
                                                                      
                                                                              f ( x) dx и говорят, что

этот несобственный интеграл сходится. Если предел бесконечен или не
существует, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл
расходится.
                                               
                                                  1
    Пример.    Исследуем сходимость интеграла   dx . Очевидно, что
                                                1
                                                  x
          b1 1
I (b)            при   1 и I (b)  ln b при   1. Устремим теперь b к             .   Очевидно,
           1 
                                                                        1
что конечный предел функции I (b) существует только при   1. Он равен    .
                                                                       1
При   1 предел    I (b) бесконечен. Таким образом, несобственный интеграл
                                               
    1                                               1      1
 1 x dx сходится только при   1, причем 1 x dx   1 . При   1
                        
                           1
несобственный интеграл   dx
                         1
                           x
      расходится.

             При вычислении несобственных интегралов можно использовать пакет
                                                  
программ MAXIMA.            Для получения         a f ( x) dx   необходимо ввести команду
                                                                          b
integrate(f(x),x,a,inf) и нажать Shift+Enter. Для получения
                                                                      
                                                                              f ( x) dx необходимо

ввести команду integrate(f(x),x,minf,b) и нажать Shift+Enter.


                   Приближенное вычисление интеграла Римана

    К сожалению, не для любой непрерывной функции можно найти
первообразную в виде суперпозиции элементарных функций. Поэтому можно
столкнуться с определенным интегралом, для которого применение формулы
                                                      4
                                                        sin x
Ньютона-Лейбница невозможно. Например,                1 x dx .
    Для таких интегралов приходится применять приближенное интегрирование.
Формул приближенного интегрирования довольно много, но все они основаны на
ассоциации интеграла с площадью криволинейной трапеции, построенной на
основании, совпадающем с отрезком интегрирования. Этот отрезок разбивается
на n равных частей (для удобства машинного счета) и соответствующие узкие
криволинейные трапеции заменяются близкими фигурами, площадь которых
легко вычисляется. С ростом n площади узких криволинейных трапеций и
простейших фигур практически не отличаются друг от друга, поэтому
погрешность вычислений можно сделать сколь угодной малой. Мы рассмотрим
                                             90