Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 84 стр.

                                        СЕМЕСТР 2
                                 ИНТЕГРАЛ РИМАНА

                         Площадь криволинейной трапеции

    Представим, что мы должны подсчитать площадь земельного участка,
изображенного на рисунке.




     Такая фигура, ограниченная с трех сторон отрезками прямых, два из которых
перпендикулярны третьему, а четвертая сторона пересекается прямой,
перпендикулярной противоположному отрезку, только в одной точке, называется
криволинейной трапецией. Очевидно, что любая плоская фигура может быть
разбита на конечное число криволинейных трапеций. Будем считать, что
прямолинейные участки сторон нашей криволинейной трапеции так же, как на
рисунке, параллельны координатным осям. В этом случае можно нижний отрезок
считать отрезком оси абсцисс, где a  x  b , и точки криволинейного участка
задать с помощью непрерывной функции y  f ( x), x [a, b].
      Для того, чтобы найти площадь криволинейной трапеции, заменим
трапецию объединением прямоугольников по следующей схеме.




        Отрезок [a, b] разделен на n отрезков [ xi , xi1], i  0,..., n , где x0  a, xn  b . На
каждом отрезке выбрана точка i и в этой точке восстановлен перпендикуляр
(прерывистая линия) до пересечения с кривой y  f ( x) . Таким образом, вершиной
перпендикуляра является точка с координатами (i , f (i )) . На каждом отрезке
[ xi , xi1] как на основании построен прямоугольник высотой f (i ) . Очевидно, что
чем меньше отрезок [ xi , xi1] , тем меньше площадь прямоугольника отличается от
площади криволинейной трапеции с основанием [ xi , xi1] . Обозначим  длину
наибольшего из отрезков [ xi , xi1] .  называется диаметром разбиения. Чем
меньше диаметр разбиения, тем ближе сумма площадей построенных
                                               84