Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Основные понятия
Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы движущейся в центральном поле
−
~
2
2m
∆ψ(r) + U(r)ψ(r) = Eψ(r) (95)
может быть сведено к одномерному радиальному уравнению, если учесть коммутативность
операторов
ˆ
H,
ˆ
L
2
,
ˆ
L
z
(в центральном поле момент импульса сохраняется) и, соответственно,
искать решение уравнения Шрёдингера в виде
ψ = R(r)Y
lm
(θ, ϕ), (96)
где Y
lm
(θ, ϕ) =
1
√
2π
e
imϕ
Θ
lm
(θ) – сферические функции. Предполагается, что мы рассматри-
ваем стационарные состояния с определенными значениями момента l и его проекции m.
Радиальное уравнение имеет вид
1
r
2
d
dr
r
2
dR
dr
−
l(l + 1)
r
2
R +
2m
~
2
[E − U(r)]R = 0. (97)
Каждое из состояний с определенным значением орбитального квантового числа l будет 2l +1
кратно вырождено по направлению момента. Для решения уравнения (97) часто бывает удоб-
но сделать подстановку
R(r) =
χ(r)
r
. (98)
В результате чего уравнение (97) приводится к виду
−
~
2
2m
d
2
dr
2
+
~
2
l(l + 1)
2mr
2
+ U(r)
χ(r) = Eχ(r) (99)
с граничным условием χ(0) = 0.
Уравнение (99) по форме совпадает с одномерным уравнением Шредингера для поля с
потенциальной энергией
U
l
(r) = U(r) +
~
2
l(l + 1)
2mr
2
. (100)
Энергию
~
2
l(l + 1)
2mr
2
часто называют центробежной энергией.
Таким образом, задача о движении в центральном поле сводится к задаче об одномер-
ном движении в области, ограниченной с одной стороны χ(0) = 0.
Для обозначения состояний с различными значениями момента существует общепри-
нятая символика, а именно, каждому состоянию соответствует своя буква латинского алфа-
вита
l = 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
s p d f g h i k ...
(101)
                     ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ


                                     Основные понятия

       Стационарное уравнение Шрёдингера для частицы движущейся в центральном поле
                                  ~2
                              −      ∆ψ(r) + U (r)ψ(r) = Eψ(r)                          (95)
                                  2m
может быть сведено к одномерному радиальному уравнению, если учесть коммутативность
операторов Ĥ, L̂2 , L̂z (в центральном поле момент импульса сохраняется) и, соответственно,
искать решение уравнения Шрёдингера в виде

                                      ψ = R(r)Ylm (θ, ϕ),                               (96)
                  1
где Ylm (θ, ϕ) = √ eimϕ Θlm (θ) – сферические функции. Предполагается, что мы рассматри-
                  2π
ваем стационарные состояния с определенными значениями момента l и его проекции m.
       Радиальное уравнение имеет вид
                                 
                     1 d     2 dR     l(l + 1)     2m
                           r        −          R +    [E − U (r)]R = 0.                 (97)
                    r2 dr      dr         r2       ~2
Каждое из состояний с определенным значением орбитального квантового числа l будет 2l + 1
кратно вырождено по направлению момента. Для решения уравнения (97) часто бывает удоб-
но сделать подстановку
                                                χ(r)
                                        R(r) =       .                                  (98)
                                                  r
В результате чего уравнение (97) приводится к виду
                           ~2 d2    ~2 l(l + 1)
                                                      
                         −        +             + U (r) χ(r) = Eχ(r)                    (99)
                           2m dr2     2mr2
с граничным условием χ(0) = 0.
       Уравнение (99) по форме совпадает с одномерным уравнением Шредингера для поля с
потенциальной энергией
                                                     ~2 l(l + 1)
                                  Ul (r) = U (r) +               .                    (100)
                                                       2mr2
         ~2 l(l + 1)
Энергию              часто называют центробежной энергией.
           2mr2
       Таким образом, задача о движении в центральном поле сводится к задаче об одномер-
ном движении в области, ограниченной с одной стороны χ(0) = 0.
       Для обозначения состояний с различными значениями момента существует общепри-
нятая символика, а именно, каждому состоянию соответствует своя буква латинского алфа-
вита
                              l = 0 1 2 3 4 5 6 7 ...
                                                                                      (101)
                                    s p d f g h i k ...

Страницы