Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Примеры решения задач
Задача 5.1. Для частицы, находящейся в основном состоянии в бесконечно глубокой потен-
циальной яме ширины a (0 ≤ x ≤ a), помещенной в слабое однородное электрическое поле,
найти поправки первого и второго порядка к энергии частицы.
Решение. Возмущение имеет вид V (x) = −eEx (E – напряженность электрического поля).
Для вычисления поправок воспользуемся формулами
E
(1)
n
= hΨ
(0)
n
|
ˆ
V |Ψ
(0)
n
i, E
(2)
n
=
X
m6=n
|hΨ
(0)
m
|
ˆ
V |Ψ
(0)
n
i|
2
E
(0)
n
− E
(0)
m
, (105)
учтя, что волновая функция частицы, находящейся в основном состоянии имеет вид ψ
(0)
0
(x) =
p
2/a sin(πx/a). Вычислим вначале матричный элемент оператора координаты
hΨ
(0)
0
|x|Ψ
(0)
n
i =
2
a
a
Z
0
x sin
πx
a
sin
π(n + 1)x
a
dx =
1
a
a
Z
0
x
cos
πnx
a
− cos
π(n + 2)x
a
dx =
a
2
, n = 0,
0, n = 2k,
−
16a(k + 1)
π
2
(2k + 1)
2
(2k + 3)
2
, n = 2k + 1,
(106)
где k = 0, 1, 2.... Таким образом матричные элементы отличны от нуля только для переходов в
нечетные состояния. Соответственно, поправка первого порядка к энергии имеет вид
E
(1)
0
= −
eEa
2
,
а поправка второго порядка
E
(2)
0
= −
512me
2
E
2
a
4
π
6
~
2
∞
X
k=0
(k + 1)
2
(2k + 1)
5
(2k + 3)
5
.
Этот ряд быстро сходится и его значение определяется практически лишь первым членом с
k = 0, то есть
E
(2)
0
≈ −
512me
2
E
2
a
4
243π
6
~
2
.
Задача 5.2. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d, накладывается однород-
ное, переменное электрическое поле ε(t) = ε
0
(1 + t
2
/τ
2
)
−1
. До включения поля ротатор имел
определенное значение энергии и проекции момента m. Вычислить в первом порядке теории
возмущений вероятности различных значений энергии ротатора при t → ∞.
                                    ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ



                                        Примеры решения задач

Задача 5.1. Для частицы, находящейся в основном состоянии в бесконечно глубокой потен-
циальной яме ширины a (0 ≤ x ≤ a), помещенной в слабое однородное электрическое поле,
найти поправки первого и второго порядка к энергии частицы.
Решение. Возмущение имеет вид V (x) = −eEx (E – напряженность электрического поля).
Для вычисления поправок воспользуемся формулами

                                                                        X |hΨ(0)     (0) 2
                                                                             m |V̂ |Ψn i|
                       En(1)   =    hΨ(0)
                                      n |V̂   |Ψ(0)
                                                n i,        En(2)   =           (0)   (0)
                                                                                             ,         (105)
                                                                        m6=n   En − Em

                                                                                                 (0)
учтя, что волновая функция частицы, находящейся в основном состоянии имеет вид ψ0 (x) =
p
  2/a sin(πx/a). Вычислим вначале матричный элемент оператора координаты
                               Za
           (0)           2      πx     π(n + 1)x
         hΨ0 |x|Ψ(0)
                 n i   =            x sin
                                   sin           dx =
                         a       a         a
                        0
                                                a
                                              
                                              
                                                 ,                 n = 0,
           Za                               
                                               2
         1         πnx       π(n + 2)x        
             x cos     − cos             dx = 0,                    n = 2k,                            (106)
         a          a            a
                                                        16a(k + 1)
                                              
                                              
           0
                                              − 2                       , n = 2k + 1,
                                              
                                              
                                                   π (2k + 1)2 (2k + 3)2

где k = 0, 1, 2.... Таким образом матричные элементы отличны от нуля только для переходов в
нечетные состояния. Соответственно, поправка первого порядка к энергии имеет вид

                                                      (1)           eEa
                                                     E0 = −             ,
                                                                     2
а поправка второго порядка
                                                      ∞
                           (2)         512me2 E 2 a4 X        (k + 1)2
                          E0        =−                                        .
                                          π 6 ~2     k=0
                                                         (2k + 1) 5 (2k + 3)5



Этот ряд быстро сходится и его значение определяется практически лишь первым членом с
k = 0, то есть
                                       512me2 E 2 a4
                                               (2)
                                            E0 ≈ −   .
                                         243π 6 ~2
Задача 5.2. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d, накладывается однород-
ное, переменное электрическое поле ε(t) = ε0 (1 + t2 /τ 2 )−1 . До включения поля ротатор имел
определенное значение энергии и проекции момента m. Вычислить в первом порядке теории
возмущений вероятности различных значений энергии ротатора при t → ∞.

Страницы