Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева 45
Решение. Возмущение ротатора имеет вид V (t) = −dε(t) cos ϕ, где ϕ – угол между осью ро-
татора и направлением электрического поля. Вычислим матричные элементы оператора воз-
мущения
V
m
0
m
= hΨ
(0)
m
0
|
ˆ
V (t)|Ψ
(0)
m
i =
= −
d
2π
2π
Z
0
e
−im
0
ϕ
ε(t) cos ϕe
imϕ
dφ =
−
dε(t)
2
, при m
0
= m ± 1,
0, в остальных случаях.
Таким образом, в первом порядке теории возмущений переходы возможны только между со-
седними уровнями. Вычислим интеграл, определяющий вероятность перехода, предполагая
ω
m
0
m
> 0
∞
Z
−∞
ε(t)e
iω
m
0
m
t
dt = ε
0
∞
Z
−∞
e
iω
m
0
m
t
(1 + t
2
/τ
2
)
dt =
= 2πires
e
iω
m
0
m
z
1 + z
2
/τ
2
, z = iτ
= πτε
0
e
−ω
m
0
m
τ
.
Аналогично вычисляется интеграл и при ω
m
0
m
< 0. Следовательно,
∞
Z
−∞
ε(t)e
iω
m
0
m
t
dt = πτε
0
e
−|ω
m
0
m
τ|
.
Используя данное значения интеграла, получим вероятность перехода из состояния m в со-
стояние m
0
= m ± 1
W
m
0
m
=
d
2
π
2
τ
2
ε
2
0
4~
2
e
−2|ω
m
0
m
τ|
,
где ω
m
0
m
= (1 ± 2m)~/2I.
Варианты индивидуального задания № 5
1. Частица находится в основном состоянии в поле U(x) = −αδ(x). При t = 0 яма на-
чинает движение со скоростью V . Найти вероятность того, что яма увлечет частицу за собой.
2. Плоский заряженный ротатор помещен в однородное магнитное поле H, направлен-
ное перпендикулярно оси вращения. Найти в первом порядке теории возмущений энергию и
волновые функции стационарных состояний.
3. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор с зарядом e находится в слабом
магнитном поле B. Найти расщепление уровня с n = 1.
4. Двумерный гармонический осциллятор с зарядом e и частотами ω
1
= 2ω
2
находится
в слабом магнитном поле B, перпендикулярном плоскости осциллятора. Найти расщепление
уровня с n = 3.
5. Найти по теории возмущений сдвиг основного состояния атома водорода, обуслов-
ленный конечными размерами протона, предполагая, что протон является равномерно заря-
женным шаром радиуса R.
Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                              45

Решение. Возмущение ротатора имеет вид V (t) = −dε(t) cos ϕ, где ϕ – угол между осью ро-
татора и направлением электрического поля. Вычислим матричные элементы оператора воз-
мущения
                     (0)
        Vm0 m = hΨm0 |V̂ (t)|Ψ(0)
                              m i =

                                                   − dε(t) , при m0 = m ± 1,
                                                   
                     Z2π
                   d       −im0 ϕ            imϕ
              = −         e       ε(t) cos ϕe dφ =      2
                  2π                               
                                                     0,      в остальных случаях.
                           0

Таким образом, в первом порядке теории возмущений переходы возможны только между со-
седними уровнями. Вычислим интеграл, определяющий вероятность перехода, предполагая
ωm0 m > 0
                               Z∞                              Z∞
                                          iωm0 m t    eiωm0 m t
                                    ε(t)e            dt = ε0       dt =
                                                    (1 + t2 /τ 2 )
                         −∞                     −∞
                                iω 0 z            
                                 e  m m
                      = 2πires       2   2
                                           , z = iτ = πτ ε0 e−ωm0 m τ .
                                1 + z /τ
Аналогично вычисляется интеграл и при ωm0 m < 0. Следовательно,
                                     Z∞
                                          ε(t)eiωm0 m t dt = πτ ε0 e−|ωm0 m τ | .
                                    −∞

Используя данное значения интеграла, получим вероятность перехода из состояния m в со-
стояние m0 = m ± 1
                                                      d2 π 2 τ 2 ε20 −2|ωm0 m τ |
                                       Wm0 m =                      e             ,
                                                         4~2
где ωm0 m = (1 ± 2m)~/2I.

                           Варианты индивидуального задания № 5

      1. Частица находится в основном состоянии в поле U (x) = −αδ(x). При t = 0 яма на-
чинает движение со скоростью V . Найти вероятность того, что яма увлечет частицу за собой.
      2. Плоский заряженный ротатор помещен в однородное магнитное поле H, направлен-
ное перпендикулярно оси вращения. Найти в первом порядке теории возмущений энергию и
волновые функции стационарных состояний.
      3. Трехмерный изотропный гармонический осциллятор с зарядом e находится в слабом
магнитном поле B. Найти расщепление уровня с n = 1.
      4. Двумерный гармонический осциллятор с зарядом e и частотами ω1 = 2ω2 находится
в слабом магнитном поле B, перпендикулярном плоскости осциллятора. Найти расщепление
уровня с n = 3.
      5. Найти по теории возмущений сдвиг основного состояния атома водорода, обуслов-
ленный конечными размерами протона, предполагая, что протон является равномерно заря-
женным шаром радиуса R.

Страницы