Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10 Т е м а I. Основания теории вероятностей
то она не может быть строго больше x
0
, так как в противном
случае нашелся бы такой номер n, для которого имело бы место
неравенство x
0
+
1
/
n
< x, противоречащее выбору x. Таким обра-
зом, x ∈ (−∞; x
0
], что доказывает противоположное включение,
а вместе с ним и все требуемое равенство.
Пример 4. Докажем дистрибутивность операций объедине-
ния и пересечения:
A ∪ (BC) = (A ∪ B)(A ∪ C).
Решение. Доказательство проведем методом
h
h
туда и обратно
i
i
:
ω ∈ A ∪ (BC) ⇔
"
ω ∈ A,
ω ∈ BC,
⇔
ω ∈ A,
(
ω ∈ B,
ω ∈ C,
⇔
(
ω ∈ A ∪ B,
ω ∈ A ∪ C,
⇔ ω ∈ (A ∪ B)(A ∪ C).
£
Другой способ доказательства соотношений между событиями
состоит в использовании уже известных (ранее кем-то доказанных)
утверждений. Сформулируем ряд таких утверждений в виде задач.
1. Докажите законы дистрибутивности:
i) A(B ∪ C) = AB ∪ AC; ii) A ∪ (BC) = (A ∪ B)(A ∪ C).
2. Докажите правила де Морг´ана для операции дополнения:
i) (A ∪ B)
c
= A
c
∩ B
c
,
³
S
k
A
k
´
c
=
T
k
A
c
k
;
ii) (A ∩ B)
c
= A
c
∪ B
c
,
³
T
k
A
k
´
c
=
S
k
A
c
k
.
3. Докажите следующие соотношения:
i) A
@@
B = AB
c
= A
@@
(AB) ;
ii) A M B = AB
c
+ BA
c
;
iii) (A
@@
B) + B = A ⇔ B ⊂ A .
10                  Тема   I. Основания теории вероятностей


то она не может быть строго больше x0, так как в противном
случае нашелся бы такой номер n, для которого имело бы место
неравенство x0 + 1/n < x, противоречащее выбору x. Таким обра-
зом, x ∈ (−∞; x0], что доказывает противоположное включение,
а вместе с ним и все требуемое равенство.
   Пример 4. Докажем дистрибутивность операций объедине-
ния и пересечения:
                     A ∪ (BC) = (A ∪ B)(A ∪ C).
   Решение. Доказательство проведем методом h туда и обратно i :
                                                         h          i

                              
                "                 ω ∈ A,       (
                  ω ∈ A,        (                ω ∈ A ∪ B,
ω ∈ A ∪ (BC) ⇔              ⇔  ω ∈ B, ⇔
                  ω ∈ BC,                         ω ∈ A ∪ C,
                                   ω ∈ C,
                  ⇔ ω ∈ (A ∪ B)(A ∪ C).
                                                            £
   Другой способ доказательства соотношений между событиями
состоит в использовании уже известных (ранее кем-то доказанных)
утверждений. Сформулируем ряд таких утверждений в виде задач.
     1. Докажите законы дистрибутивности:
      i)    A(B ∪ C) = AB ∪ AC;       ii)   A ∪ (BC) = (A ∪ B)(A ∪ C).
     2. Докажите правила де Морга́на для операции дополнения:
                                ³S ´c T
                 c    c     c
       i) (A ∪ B) = A ∩ B ,        Ak = Ack ;
                                 k        k
                                ³T   ´c S
      ii) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,    Ak = Ack .
                                        k            k
     3. Докажите следующие соотношения:
      i)    A @ B = AB c = A @ (AB) ;
     ii)    A M B = AB c + BAc ;
     iii)   (A @ B) + B = A    ⇔     B ⊂ A.

Страницы