Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 11
Пример 5. Докажем ассоциативность симметрической раз-
ности:
(A M B) M E = A M (B M E).
Решение. Воспользуемся соотношениями предыдущих задач:
(A M B) M E
(1)
= (AB
c
+ BA
c
)E
c
+ E(AB
c
+ BA
c
)
c
(2)
= (AB
c
+ BA
c
)E
c
+ E((B ∪ A
c
)(A ∪ B
c
))
(3)
= AB
c
E
c
+ BA
c
E
c
+ E((BA) ∪ (AA
c
) ∪ (BB
c
) ∪ (A
c
B
c
))
(4)
= AB
c
E
c
+ A
c
BE
c
+ A
c
B
c
E + BAE.
Здесь равенство (1) вытекает из задачи 2, равенство (2) из пра-
вила де Морг´ана, равенство (3) из законов дистрибутивности, а
равенство (4) из того, что пересечение любого множества и его
отрицания пусто. Знак объединения заменен на знак суммы по
причине несовместности оставшихся событий.
Произведя аналогичные преобразования правой части доказы-
ваемого равенства, мы придем к тому же самому представлению.
4. Докажите и графически обоснуйте следующие свойства:
i) A ∪B = (A M B) + (A B) ;
ii)
n
S
k=1
A
k
=
n
P
k=1
B
k
, где B
1
= A
1
, B
k
= A
k
@@
³
k−1
S
j=1
A
j
´
;
iii) A M B = A
c
M B
c
;
iv) (A M B) M (B M C) = (A M C) ;
v) A M (B ∪ E) ⊆ (A M B) ∪ (A M E) ;
vi) A M B = E ⇔ A = B M E .
При построении сложных выражений полезно отождествлять
объединение с союзом ИЛИ, а пересечение — с союзом И.
Пример 6. Используя операции с множествами, запишем
событие, происходящее, если происходит только одно из событий
{A
k
}.
                              Теория и примеры                   11


   Пример 5.            Докажем ассоциативность симметрической раз-
ности:
                        (A M B) M E = A M (B M E).
   Решение. Воспользуемся соотношениями предыдущих задач:
                  (1)
(A M B) M E = (AB c + BAc)E c + E(AB c + BAc)c
                  (2)
                  = (AB c + BAc)E c + E((B ∪ Ac)(A ∪ B c))
            (3)
            = AB cE c + BAcE c + E((BA) ∪ (AAc) ∪ (BB c) ∪ (AcB c))
                  (4)
              = AB cE c + AcBE c + AcB cE + BAE.
   Здесь равенство (1) вытекает из задачи 2, равенство (2) из пра-
вила де Морга́на, равенство (3) из законов дистрибутивности, а
равенство (4) из того, что пересечение любого множества и его
отрицания пусто. Знак объединения заменен на знак суммы по
причине несовместности оставшихся событий.
   Произведя аналогичные преобразования правой части доказы-
ваемого равенства, мы придем к тому же самому представлению.
     4. Докажите и графически обоснуйте следующие свойства:
      i) A ∪ B = (A M B) + (A B) ;
         Sn      Pn                             ³k−1
                                                  S ´
     ii)    Ak =    Bk , где B1 = A1, Bk = Ak @      Aj ;
            k=1         k=1                              j=1
     iii)   A M B = Ac M B c ;
     iv)    (A M B) M (B M C) = (A M C) ;
      v)    A M (B ∪ E) ⊆ (A M B) ∪ (A M E) ;
     vi)AMB =E ⇔ A=B ME.
   При построении сложных выражений полезно отождествлять
объединение с союзом ИЛИ, а пересечение — с союзом И.
   Пример 6.      Используя операции с множествами, запишем
событие, происходящее, если происходит только одно из событий
{Ak }.

Страницы