Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 9
Доказательство становится нагляднее, если записать его в виде
логических переходов, заменив при этом союз ИЛИ (аналог объ-
единения) квадратной скобкой
h
h
[
i
i
, а союз И (пересечение) – фи-
гурной скобкой
h
h
{
i
i
:
ω ∈ A
1
∪ A
2
⇔
ω ∈ A
1
и ω 6∈ A
2
,
ω 6∈ A
1
и ω ∈ A
2
,
ω ∈ A
1
и ω ∈ A
2
,
⇔
ω ∈ A
1
@@
A
2
,
ω ∈ A
2
@@
A
1
,
ω ∈ A
1
∩ A
2
,
⇔
⇔ ω ∈ (A
1
@@
A
2
) + (A
2
@@
A
1
) + A
1
A
2
.
Полезно представить исследуемое соотношение в виде рисунка
с областями на плоскости. Рисунок помогает догадаться о путях
доказательства соотношения, но не может рассматриваться как
окончательное доказательство. В то же время, при построении
контрпримера рисунок бывает незаменимым решением задачи.
Пример 2. Верно ли, что (A
@@
B) + B = A?
Решение. Из представленного здесь
A
B
рисунка (множество A — овал, множе-
ство B — прямоугольник) видно, что
B + (A
@@
B) скорее совпадает с объеди-
нением A ∪ B (докажите строго этот
факт), но никак не с A.
Пример 3. Докажем, что
∞
T
n=1
(−∞; x
0
+
1
n
) = (−∞; x
0
].
Решение. С одной стороны (справа налево),
(−∞; x
0
] ⊂
∞
T
n=1
³
−∞; x
0
+
1
n
´
,
так как (−∞; x
0
] ⊂ (−∞; x
0
+
1
/
n
) для ∀n > 1.
С другой стороны (слева направо), если точка
x ∈
∞
T
n=1
(−∞; x
0
+
1
n
),
                            Теория и примеры                             9


   Доказательство становится нагляднее, если записать его в виде
логических переходов, заменив при этом союз ИЛИ (аналог объ-
единения) квадратной скобкой h [ i , а союз И (пересечение) – фи-
                                   h   i



гурной скобкой h { i :
                h   i

                                           
                       ω ∈ A1 и ω 6∈ A2 ,      ω ∈ A1 @ A2 ,
                                           
  ω ∈ A1 ∪ A2 ⇔  ω 6∈ A1 и ω ∈ A2 , ⇔  ω ∈ A2 @ A1 , ⇔
                       ω ∈ A1 и ω ∈ A2 ,      ω ∈ A1 ∩ A2 ,
               ⇔ ω ∈ (A1 @ A2) + (A2 @ A1) + A1 A2 .
   Полезно представить исследуемое соотношение в виде рисунка
с областями на плоскости. Рисунок помогает догадаться о путях
доказательства соотношения, но не может рассматриваться как
окончательное доказательство. В то же время, при построении
контрпримера рисунок бывает незаменимым решением задачи.
   Пример 2.        Верно ли, что          (A @ B) + B = A?
                                 Решение. Из представленного здесь
  A
                              рисунка (множество A — овал, множе-
                              ство B — прямоугольник) видно, что
                        B     B + (A @ B) скорее совпадает с объеди-
                              нением A ∪ B (докажите строго этот
                              факт), но никак не с A.
                                            T
                                            ∞
   Пример 3.        Докажем, что                (−∞; x0 + n1 ) = (−∞; x0].
                                           n=1
   Решение. С одной стороны (справа налево),
                       ∞ ³
                       T              ´
                                    1
            (−∞; x0] ⊂     −∞; x0 + n ,
                            n=1
так как (−∞; x0] ⊂ (−∞; x0 + 1/n ) для ∀n > 1.
   С другой стороны (слева направо), если точка
                         T
                         ∞
                    x∈     (−∞; x0 + n1 ),
                             n=1

Страницы