Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8 Т е м а I. Основания теории вероятностей
разность A
@@
B –
происходит только тогда, когда происходит со-
бытие A и не происходит событие B
симметрическая
разность
A M B –
происходит только тогда, когда происходит со-
бытие A или происходит событие B, но не про-
исходят одновременно A и B
включение A ⊂ B –
означает, что событие A влечет событие B;
если произошло A, то произошло и B
Непересекающиеся события называются несовместными, по-
скольку не могут произойти вместе в одном эксперименте. Для
таких событий принято заменять знак объединения в формулах
на знак суммирования. Записи
F
1
+ F
2
,
P
k
F
k
следует понимать как объединения попарно несовместных собы-
тий семейства {F
k
} : F
k
∩ F
j
= ∅, ∀k 6= j.
Знак пересечения часто опускается: A ∩B = AB.
Пример 1. Докажем, что объединение любых двух событий
может быть представлено в виде суммы несовместных событий
A
1
∪ A
2
= A
1
+ (A
2
@@
A
1
) = (A
1
@@
A
2
) + (A
2
@@
A
1
) + A
1
A
2
.
Решение. Несовместность заявленных событий очевидна.
Справедливость равенств (для при-
A
1
@@
A
2
A
2
@@
A
1
A
1
·A
2
мера только последнего) установим ме-
тодом ,,туда и обратно‘‘ . То есть, взяв
исход ω, принадлежащий левой части
равенства, покажем, что он будет при-
надлежать и правой части и наоборот.
Соотношение ω ∈ A
1
∪ A
2
эквивалентно выполнению одного
из трех утверждений: ω ∈ A
1
и одновременно ω 6∈ A
2
, или ω ∈
A
2
и ω 6∈ A
1
, или ω ∈ A
1
и ω ∈ A
2
, то есть когда ω ∈ (A
1
@@
A
2
)+
(A
2
@@
A
1
) + A
1
A
2
.
 8                    Тема   I. Основания теории вероятностей


                              происходит только тогда, когда происходит со-
     разность         A@ B –
                              бытие A и не происходит событие B
                              происходит только тогда, когда происходит со-
     симметрическая
                      A M B – бытие A или происходит событие B, но не про-
     разность
                              исходят одновременно A и B
                              означает, что событие A влечет событие B;
     включение        A⊂B –
                              если произошло A, то произошло и B

   Непересекающиеся события называются несовместными, по-
скольку не могут произойти вместе в одном эксперименте. Для
таких событий принято заменять знак объединения в формулах
на знак суммирования. Записи
                                 P
                      F1 + F2 ,    k Fk

следует понимать как объединения попарно несовместных собы-
тий семейства {Fk } : Fk ∩ Fj = ∅, ∀k 6= j.
      Знак пересечения часто опускается: A ∩ B = AB.
   Пример 1. Докажем, что объединение любых двух событий
может быть представлено в виде суммы несовместных событий

      A1 ∪ A2 = A1 + (A2 @ A1) = (A1 @ A2) + (A2 @ A1) + A1 A2.

    Решение. Несовместность заявленных событий очевидна.
    Справедливость равенств (для при-
мера только последнего) установим ме-                     A2 @ A1
тодом ,,туда и обратно‘‘ . То есть, взяв            A1·A2
исход ω, принадлежащий левой части
                                              A1 @ A2
равенства, покажем, что он будет при-
надлежать и правой части и наоборот.
    Соотношение ω ∈ A1 ∪ A2 эквивалентно выполнению одного
из трех утверждений:      ω ∈ A1 и одновременно ω 6∈ A2, или ω ∈
A2 и ω 6∈ A1, или ω ∈ A1 и ω ∈ A2, то есть когда ω ∈ (A1 @ A2)+
(A2 @ A1) + A1 A2.

Страницы