Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 13
на). Поэтому эти подмножества часто называются измеримыми. В
дальнейшем измеримые подмножества мы будем называть просто
событиями. Все пространство Ω называется достоверным собы-
тием, а пустое подмножество ∅ — невозможным.
Набор F подмножеств Ω образует σ–алгебру событий , если
(S1) Ω ∈ F, ∅ ∈ F ;
(S2) A ∈ F ⇒ A
c
∈ F ;
(S3) (a) {A
k
}
∞
k=1
⊂ F ⇒
∞
S
k=1
A
k
∈ F ;
(b) {A
k
}
∞
k=1
⊂ F ⇒
∞
T
k=1
A
k
∈ F.
Если условие (S3) выполняется только для конечных систем
множеств {A
k
}
M
k=1
, M < ∞, то F образует алгебру событий .
Если пространство Ω конечно или счетно, то F выбирается
как σ -алгебра всех подмножеств Ω :
F = P(Ω) := {A : A ⊂ Ω}.
Это самая богатая (тонкая) σ -алгебра. Самая бедная (грубая) ал-
гебра содержит всего два подмножества: F = {Ω, ∅}.
5. Проверьте выполнение условий (S1) − (S3) для обоих
семейств F = P(Ω) и F = {Ω, ∅}.
6. Докажите, что если пространство Ω состоит из N эле-
ментов, то алгебра P(Ω) содержит 2
N
подмножеств.
Пример 8. Докажем, что пересечение любого числа произ-
вольных σ –алгебр снова является σ –алгеброй.
Решение. Пусть
F
λ
®
λ∈Λ
— семейство σ –алгебр и
ˆ
F =
T
λ
F
λ
–
их пересечение, то есть совокупность всех тех подмножеств Ω, ко-
торые входят в состав сразу всех σ –алгебр этого семейства.
                        Теория и примеры                     13


на). Поэтому эти подмножества часто называются измеримыми. В
дальнейшем измеримые подмножества мы будем называть просто
событиями. Все пространство Ω называется достоверным собы-
тием, а пустое подмножество ∅ — невозможным.

 Набор F подмножеств Ω образует σ–алгебру событий , если
          (S1)       Ω ∈ F,   ∅ ∈ F;
          (S2)       A∈F               ⇒ Ac ∈ F ;
                                         S
                                         ∞
          (S3) (a) {Ak }∞
                        k=1 ⊂ F        ⇒    Ak ∈ F ;
                                           k=1
                                            T
                                            ∞
                 (b) {Ak }∞
                          k=1 ⊂ F      ⇒         Ak ∈ F.
                                           k=1

 Если условие (S3) выполняется только для конечных систем
 множеств {Ak }M
               k=1
                   , M < ∞, то F образует алгебру событий .

   Если пространство Ω конечно или счетно, то F выбирается
как σ -алгебра всех подмножеств Ω :
                  F = P(Ω) := {A : A ⊂ Ω}.

Это самая богатая (тонкая) σ -алгебра. Самая бедная (грубая) ал-
гебра содержит всего два подмножества: F = {Ω, ∅}.
     5. Проверьте выполнение условий (S1) − (S3) для обоих
семейств F = P(Ω) и F = {Ω, ∅}.
    6. Докажите, что если пространство Ω состоит из N эле-
ментов, то алгебра P(Ω) содержит 2N подмножеств.

   Пример 8. Докажем, что пересечение любого числа произ-
вольных σ –алгебр снова является σ –алгеброй.
                     ­ ®                                 T
   Решение. Пусть Fλ λ∈Λ — семейство σ –алгебр и F̂ = λ Fλ –
их пересечение, то есть совокупность всех тех подмножеств Ω, ко-
торые входят в состав сразу всех σ –алгебр этого семейства.

Страницы