Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

14 Т е м а I. Основания теории вероятностей
Проверяем (S1). Поскольку пустое множество и все Ω входят
в каждую σ –алгебру F
λ
, то они будут входить и в их пересечение.
Проверяем (S2). Если множество A ∈
T
λ
F
λ
, то оно будет при-
надлежать каждой σ –алгебре. Поэтому его дополнение A
c
также
будет входить в каждую из σ –алгебр.
Проверяем (S3). Пусть счетный набор подмножеств {A
i
}
∞
1
∈
T
λ
F
λ
, тогда эта совокупность вместе со своим объединением будет
входить в состав каждой из σ –алгебр F
λ
, а значит, и в состав
ˆ
F.
7. Интересно, а объединение σ –алгебр обязано быть σ –
алгеброй?
С каждым набором Q = {A
α
} подмножеств Ω можно свя-
зать семейство всех σ –алгебр, содержащих Q. Тогда пересечение
этого семейства образует минимальную σ –алгебру, содержащую
Q. Эта σ –алгебра обозначается σ(Q) и называется σ –алгеброй,
порожденной Q .
Пример 9. Если Q = {A} содержит всего одно подмно-
жество A ⊂ Ω, то в силу свойства (S2) в алгебру σ(Q) должно
входить дополнение A
c
множества A до всего пространства Ω.
Так как набор подмножеств {Ω, ∅, A, A
c
} образует алгебру (!?), то
σ{A} = {Ω, ∅, A, A
c
}.
£
На числовой прямой R
1
(или в n -мерном пространстве R
n
) в
качестве σ –алгебры чаще всего выбирают борелевскую σ –алгебру
F = B(R
1
) := σ{(−∞; x), x ∈ R
1
},
то есть σ –алгебру, порожденную открытыми интервалами вида
(−∞; x). Если пространство Ω есть подмножество R
1
, то боре-
левская σ –алгебра в Ω задается как пересечение всех подмно-
жеств из B(R
1
) с Ω :
B(Ω) = {B ∩Ω : B ∈ B(R
1
)}. (?)
 14              Тема   I. Основания теории вероятностей


    Проверяем (S1). Поскольку пустое множество и все Ω входят
в каждую σ –алгебру Fλ, то они будут входить и в их пересечение.
                                         T
    Проверяем (S2). Если множество A ∈ Fλ, то оно будет при-
                                               λ
надлежать каждой σ –алгебре. Поэтому его дополнение Ac также
будет входить в каждую из σ –алгебр.
                                                           ∞
   Проверяем (S3). Пусть счетный набор подмножеств {Ai}1 ∈
T
  Fλ, тогда эта совокупность вместе со своим объединением будет
λ
входить в состав каждой из σ –алгебр Fλ, а значит, и в состав F̂.
     7. Интересно, а объединение σ –алгебр обязано быть σ –
алгеброй?
   С каждым набором Q = {Aα } подмножеств Ω можно свя-
зать семейство всех σ –алгебр, содержащих Q. Тогда пересечение
этого семейства образует минимальную σ –алгебру, содержащую
Q. Эта σ –алгебра обозначается σ(Q) и называется σ –алгеброй,
порожденной Q .
   Пример 9.       Если Q = {A} содержит всего одно подмно-
жество A ⊂ Ω, то в силу свойства (S2) в алгебру σ(Q) должно
входить дополнение Ac множества A до всего пространства Ω.
Так как набор подмножеств {Ω, ∅, A, Ac} образует алгебру (!?), то
                     σ{A} = {Ω, ∅, A, Ac}.
                                                             £
   На числовой прямой R 1 (или в n -мерном пространстве R n) в
качестве σ –алгебры чаще всего выбирают борелевскую σ –алгебру
              F = B(R 1) := σ{(−∞; x), x ∈ R 1},
то есть σ –алгебру, порожденную открытыми интервалами вида
(−∞; x). Если пространство Ω есть подмножество R 1, то боре-
левская σ –алгебра в Ω задается как пересечение всех подмно-
жеств из B(R 1) с Ω :
                 B(Ω) = {B ∩ Ω : B ∈ B(R 1)}.                 (?)

Страницы