Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

16 Т е м а I. Основания теории вероятностей
11. Докажите, что прообраз σ –алгебры F
2
:
ξ
−1
(F
2
) := {ξ
−1
(F ) : F ∈ F
2
},
то есть совокупность подмножеств Ω
1
, которые являются прообра-
зами измеримых (относительно σ –алгебры F
2
) подмножеств Ω
2
,
также образует σ –алгебру в Ω
1
.
σ –алгебра ξ
−1
(F
2
) называется σ –алгеброй, порожденной
отображением ξ, и обозначается σ(ξ).
Если в исходном пространстве Ω
1
имелась своя σ –алгебра F
1
и при этом σ(ξ) ⊂ F
1
(то есть прообраз любого измеримого отно-
сительно F
2
множества измерим относительно F
1
), тогда отоб-
ражение ξ называется измеримым (точнее, F
1
|F
2
-измеримым).
Вероятность
Вероятностная мера P задается на σ–алгебре F и удовлетво-
ряет условиям:
(P1) 0 6 P {A} 6 1, ∀A ∈ F;
(P2) P {Ω} = 1, P {∅} = 0;
(P3) для любых несовместных событий A
1
, A
2
P {A
1
+ A
2
} = P {A
1
}+ P {A
2
};
(P4) если семейство вложенных друг в друга событий
A
1
⊃ A
2
⊃ . . . таково, что lim
n
A
n
:=
∞
T
n=1
A
n
= ∅, то
lim
n
P {A
n
} = 0.
Часто два условия (P3)–(P4) заменяются одним эквивалент-
ным условием, называемым σ–аддитивностью:
(P3
0
) ∀ семейства несовместных событий {A
j
}
∞
j=1
P
n
∞
P
j=1
A
j
o
=
∞
P
j=1
P {A
j
}.
16                 Тема    I. Основания теории вероятностей


     11. Докажите, что прообраз σ –алгебры F2 :
                    ξ −1(F2) := {ξ −1(F ) : F ∈ F2},
то есть совокупность подмножеств Ω1, которые являются прообра-
зами измеримых (относительно σ –алгебры F2 ) подмножеств Ω2,
также образует σ –алгебру в Ω1.

    σ –алгебра ξ −1(F2) называется σ –алгеброй, порожденной
отображением ξ, и обозначается σ(ξ).
   Если в исходном пространстве Ω1 имелась своя σ –алгебра F1
и при этом σ(ξ) ⊂ F1 (то есть прообраз любого измеримого отно-
сительно F2 множества измерим относительно F1 ), тогда отоб-
ражение ξ называется измеримым (точнее, F1|F2 -измеримым).

     Вероятность


 Вероятностная мера P задается на σ–алгебре F и удовлетво-
 ряет условиям:

      (P1) 0 6 P {A} 6 1,           ∀A ∈ F;
      (P2) P {Ω} = 1,     P {∅} = 0;
      (P3) для любых несовместных событий A1, A2
                   P {A1 + A2} = P {A1} + P {A2};
      (P4) если семейство вложенных друг в друга событий
                                                  T
                                                  ∞
           A1 ⊃ A2 ⊃ . . . таково, что limn An :=   An = ∅, то
                                                          n=1
                               lim P {An} = 0.
                                n
   Часто два условия (P3)–(P4) заменяются одним эквивалент-
 ным условием, называемым σ–аддитивностью:
    (P30) ∀ семейства несовместных событий {Aj }∞j=1
                       nP
                        ∞    o P  ∞
                     P     Aj =     P {Aj } .
                             j=1          j=1

Страницы