Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18 Т е м а I. Основания теории вероятностей
В силу несовместности указанных событий и равенства задачи 13 ii
P {A
1
∪ A
2
} = P {A
1
}+ P {A
2
@@
A
1
} =
= P {A
1
}+(P {A
2
}−P {A
2
∩ A
1
}) .
14. Когда вероятность разности событий равна разности их
вероятностей?
15. Докажите справедливость следующих свойств:
i) свойство монотонности вероятности:
P {A} 6 P {B}, ∀A ⊂ B;
ii) свойство полуаддитивности вероятности:
P
n
n
S
k=1
A
k
o
6
n
P
k=1
P {A
k
}.
Пример 11. Даны вероятности P {A}, P {B}, P {A
@@
B}.
Найти вероятность P {A M B}.
Решение. Так как A M B = (A
@@
B) + (B
@@
A), то
P {A M B} = P {A
@@
B}+ P {B
@@
A}.
Примененное дважды равенство задачи 13 ii дает
P {B
@@
A} = P {B}−P {AB} = P {B}−(P {A}−P {A
@@
B}).
Следовательно, P {A M B} = 2 P {A
@@
B}+ P {B}−P {A}.
16. Докажите, что если последовательности событий {A
n
}
∞
1
и {B
n
}
∞
1
таковы, что
lim
n
P {A
n
} = 0 и lim
n
P {B
n
} = 1, то для ∀Q ∈ F
lim
n
P {Q ∩ A
n
} = 0, lim
n
P {Q ∩ B
n
} = P {Q},
lim
n
P {Q ∪ A
n
} = P {Q}, lim
n
P {Q ∪ B
n
} = 1,
lim
n
P {Q
@@
A
n
} = P {Q}, lim
n
P {Q
@@
B
n
} = 0.
 18                   Тема    I. Основания теории вероятностей


В силу несовместности указанных событий и равенства задачи 13 ii
              P {A1 ∪ A2} = P {A1} + P {A2 @ A1} =
                          = P {A1} +(P {A2} − P {A2 ∩ A1}) .
    14. Когда вероятность разности событий равна разности их
вероятностей?
    15. Докажите справедливость следующих свойств:
        i)    свойство монотонности вероятности:
                       P {A} 6 P {B},     ∀A ⊂ B;
        ii)   свойство полуаддитивности вероятности:
                           nSn   o P  n
                         P     Ak 6      P {Ak } .
                             k=1          k=1

   Пример 11. Даны вероятности P {A}, P {B}, P {A @ B} .
Найти вероятность P {A M B} .

      Решение. Так как A M B = (A @ B) + (B @ A), то
                   P {A M B} = P {A @ B} + P {B @ A} .
      Примененное дважды равенство задачи 13 ii дает
  P {B @ A} = P {B} − P {AB} = P {B} −(P {A} − P {A @ B}).
Следовательно,        P {A M B} = 2 P {A @ B} + P {B} − P {A} .
                                                                      ∞
   16. Докажите, что если последовательности событий {An}1
      ∞
и {Bn}1 таковы, что
  limn P {An} = 0 и limn P {Bn} = 1,             то для ∀Q ∈ F
        lim P {Q ∩ An} = 0,                 lim P {Q ∩ Bn} = P {Q},
         n                                   n
        lim P {Q ∪ An} = P {Q},             lim P {Q ∪ Bn} = 1,
         n                                   n
        lim P {Q @ An} = P {Q},             lim P {Q @ Bn} = 0.
         n                                   n

Страницы