Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 17
Z 1 Вероятность есть заданная на σ–алгебре F подмножеств Ω
конечная, нормированная, аддитивная, непрерывная мера.
Если акцент делается на свойстве (P3
0
), то вероятность есть
конечная, нормированная, σ-аддитивная мера.
В общем случае вероятность задается именно на событиях алгебры F,
но не на отдельных элементарных исходах.
12. Докажите непрерывность вероятности в более широком
смысле:
i)
£
A
n
& A (т.е.
∞
T
n=1
A
n
= A)
¤
⇒ P {A
n
} & P {A}.
ii)
£
A
n
% A (т.е.
∞
S
n=1
A
n
= A)
¤
⇒ P {A
n
} % P {A}.
Z 2 Соотношения (P3-P3
0
) вместе с формулами для вероятности объеди-
нения пересекающихся событий (задачи 13 iii, iv и 35, с. 22) носят на-
звания формул суммирования вероятностей. На вопрос,
h
h
Равна ли вероятность суммы событий
сумме вероятностей этих событий?
i
i
оба ответа — ДА и НЕТ, неверны. Правильный ответ —
h
h
Да, если события несовместны.
i
i
13. Докажите справедливость следующих соотношений:
i) P {A
c
} = 1 − P {A};
ii) P {A
@@
B} = P {A}−P {A ∩ B};
iii) P {A
1
∪ A
2
} = P {A
1
}+ P {A
2
}−P {A
1
∩ A
2
};
iv) P {A
1
∪ A
2
∪ A
3
} = P {A
1
}+ P {A
2
}+ P {A
3
}−
−P {A
1
∩ A
2
}− P {A
1
∩ A
3
}−P {A
2
∩ A
3
}+ P {A
1
∩ A
2
∩ A
3
}.
Решение (iii). Объединение любых двух событий может быть
представлено в виде суммы двух несовместных событий:
A
1
∪ A
2
= A
1
+ (A
2
@@
A
1
).
                            Теория и примеры                              17


 Z 1 Вероятность есть заданная на σ–алгебре F подмножеств Ω
         конечная, нормированная, аддитивная, непрерывная мера.
     Если акцент делается на свойстве (P30 ), то вероятность есть
               конечная, нормированная, σ-аддитивная мера.
     В общем случае вероятность задается именно на событиях алгебры F,
     но не на отдельных элементарных исходах.

   12. Докажите непрерывность вероятности в более широком
смысле:
        £            T
                     ∞         ¤
     i) An & A (т.е.   An = A) ⇒ P {An} & P {A} .
                             n=1
            £                 S
                              ∞           ¤
      ii)    An % A (т.е.          An = A) ⇒ P {An} % P {A} .
                             n=1

 Z 2 Соотношения (P3-P30 ) вместе с формулами для вероятности объеди-
     нения пересекающихся событий (задачи 13 iii, iv и 35, с. 22) носят на-
     звания формул суммирования вероятностей. На вопрос,
                 hh Равна ли вероятность суммы событий

                 сумме вероятностей этих событий? ii
     оба ответа — ДА и НЕТ, неверны. Правильный ответ —
                    hh Да, если события несовместны. ii




    13.     Докажите справедливость следующих соотношений:
       i)   P {Ac} = 1 − P {A};
      ii)   P {A @ B} = P {A} − P {A ∩ B};
     iii)   P {A1 ∪ A2} = P {A1} + P {A2} − P {A1 ∩ A2};
      iv)   P {A1 ∪ A2 ∪ A3} = P {A1} + P {A2} + P {A3} −
− P {A1 ∩ A2} − P {A1 ∩ A3} − P {A2 ∩ A3} + P {A1 ∩ A2 ∩ A3} .

   Решение (iii). Объединение любых двух событий может быть
представлено в виде суммы двух несовместных событий:
                         A1 ∪ A2 = A1 + (A2 @ A1).

Страницы