Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 15
8. Докажите измеримость следующих множеств:
i) одноточечные множества;
ii) любые конечные интервалы;
iii) любые бесконечные интервалы.
Решение (iii). Измеримость интервалов вида (−∞; x] следу-
ет из равенства примера 3, с. 9, поскольку открытые интервалы
(−∞; x
0
+
1
n
) принадлежат порождающему семейству и
(−∞; x] =
∞
T
n=1
³
−∞; x +
1
n
´
∈ σ(Q).
9. Докажите, что семейство (?) образует σ –алгебру.
Чаще всего требуется найти вероятности событий, выраженных
в виде некоторых функций от наблюденного значения {ξ(ω) ∈ G}.
В первую очередь необходимо вы-
яснить, принадлежит ли такое событие
σ –алгебре F. Пусть задано отображе-
ние ξ : Ω
1
7→ Ω
2
. Определим прообраз
подмножества G ⊂ Ω
2
:
ξ
−1
(G) := {ω ∈ Ω
1
: ξ(ω) ∈ G}.
ξ
−1
(G)
G
Ω
1
Ω
2
ξ
Пример 10. Докажем, что прообраз дополнения ∀B ⊂ Ω
2
ξ
−1
(B
c
) = (ξ
−1
(B))
c
.
Решение. По определению прообраза множества,
ω ∈ ξ
−1
(B
c
) ⇔ ξ(ω) ∈ B
c
⇔ ξ(ω) /∈ B ⇔
⇔ ω /∈ ξ
−1
(B) ⇔ ω ∈ (ξ
−1
(B))
c
.
10. Докажите, что:
i) ξ
−1
(∅) = ∅, ξ
−1
(Ω
2
) = Ω
1
;
ii) ξ
−1
(
T
α
B
α
) =
T
α
ξ
−1
(B
α
), ξ
−1
(
S
α
B
α
) =
S
α
ξ
−1
(B
α
)
для любых семейств подмножеств {B
α
} ⊂ Ω
2
.
                          Теория и примеры                            15


    8. Докажите измеримость следующих множеств:
      i) одноточечные множества;
     ii) любые конечные интервалы;
    iii) любые бесконечные интервалы.

   Решение (iii). Измеримость интервалов вида (−∞; x] следу-
ет из равенства примера 3, с. 9, поскольку открытые интервалы
(−∞; x0 + n1 ) принадлежат порождающему семейству и
                         ∞ ³
                         T               ´
                                       1
               (−∞; x] =     −∞; x + n ∈ σ(Q).
                           n=1
    9. Докажите, что семейство (?) образует σ –алгебру.

    Чаще всего требуется найти вероятности событий, выраженных
в виде некоторых функций от наблюденного значения {ξ(ω) ∈ G}.
    В первую очередь необходимо вы-
яснить, принадлежит ли такое событие
σ –алгебре F. Пусть задано отображе-         Ω1              ξ
                                                                     Ω2
ние ξ : Ω1 7→ Ω2. Определим прообраз
подмножества G ⊂ Ω2 :                             ξ −1 (G)       G

   ξ −1(G) := {ω ∈ Ω1 : ξ(ω) ∈ G}.

   Пример 10.        Докажем, что прообраз дополнения ∀B ⊂ Ω2
                        ξ −1(B c) = (ξ −1(B))c.
   Решение. По определению прообраза множества,
           ω ∈ ξ −1(B c) ⇔ ξ(ω) ∈ B c    ⇔ ξ(ω) ∈
                                                /B           ⇔
                          / ξ −1(B) ⇔ ω ∈ (ξ −1(B))c.
                       ⇔ ω∈
   10. Докажите, что:
      i) ξ −1(∅) = ∅, ξ −1(Ω2) = Ω1;
               T        T                     S        S
     ii) ξ −1 ( α Bα ) = α ξ −1 (Bα ),   ξ −1( α Bα ) = α ξ −1(Bα )
для любых семейств подмножеств {Bα } ⊂ Ω2.

Страницы