Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 119 стр.

                            Задачи                            119


    43. Допустим, что некоторое насекомое с вероятностью
 k
 λ −λ
 k!
    e   кладет k яиц, k = 0, 1, . . . , а вероятность развития на-
секомого из яйца равна p. Предполагая взаимную независимость
развития яиц, найти вероятность того, что у насекомого будет
ровно n потомков.
                          K
   44. Обозначим через πM    вероятность того, что при M бро-
саниях монеты герб выпадет меньше, чем K раз. Доказать, что:
            N
       i)  π2N < 1/2 ;
            N
       ii) π2N → 1/2 при N → ∞.

    45. Если при сдаче зачета предложить студентам самим вы-
бирать количество вопросов, то большинство предпочтет миними-
зировать это количество. Оптимально ли такое поведение? Точнее,
пусть p·100% — доля вопросов, на которые студент знает правиль-
ный ответ. Для получения зачета необходимо правильно ответить
более чем на n из 2n заданных вопросов. Выяснить, при каких p
вероятность получения зачета убывает с ростом 2n, при каких —
растет, а при каких максимум вероятности достигается при неко-
тором ,,промежуточном‘‘ количестве вопросов?
     Подсказка.    Без компьютера будет трудно!
   46. На предприятии работает 8 служащих. Эти служащие зав-
тракают в одной из двух закусочных, причем выбор ими той или
другой закусочной одинаково вероятен (по 1/2 ). Если владель-
цы обеих закусочных хотят быть уверенными более чем на 95% в
том, что у них найдется достаточное число мест, то сколько мест
должно быть в каждой закусочной? Каков будет ответ на постав-
ленный вопрос, если у закусочных один владелец и его цель с той
же надежностью не допустить очереди ни в одной из закусочных?
    47. Несколько игроков бросают поочередно три игральные
кости. Бросающий первым платит каждому, кто выкинет строго