Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 127 стр.

                            Задачи                            127


   88. Предположение о конкретном значении вероятности успе-
ха p в схеме Бернулли (например p0 ) можно проверить, построив
доверительный интервал [p n, p n] для p уровня (1 − α) (см. за-
дачу 87). Если p0 ∈ [p n, p n], то можно считать гипотезу о том,
что p = p0, совместимой (согласующейся) с данными, а в слу-
чае p0 6∈ [p n, p n], следует отказаться от гипотезы, имея в виду,
что вероятность ошибки в последнем случае не будет превосхо-
дить α. По данным, полученным Г. Крамером, в январе 1935 г. в
Швеции из общего числа 7280 новорожденных родилось 3743 маль-
чика. Проверить гипотезу (при α = 0, 02 ) о том, что вероятность
рождения мальчика p0 = 0.515.

    89. В урне находятся шары белого и черного цвета, причем
известно, что доля белых шаров равна либо 0.5, либо 0.4. Из урны
извлекается с возвращением 100 шаров. Решение в пользу того или
иного предположения принимается в зависимости от того, больше
1/2 или нет доля белых шаров в выборке. Чему равны вероятности
принятия ошибочных заключений?

    90. (Экспериментальная оценка π .) Опыт Бюффона с броса-
нием иглы на плоскость, расчерченную параллельными прямыми
(см. пример 5, с. 61), неоднократно использовался для вычисления
числа π. В опыте Вольфа из Цюриха длина иглы L равна 36 мм,
расстояние между прямыми D = 45 мм, игла брошена n = 5000
раз и m = 2532 раза пересекла прямые. Считая, что вероятность
пересечения равна p = 2L/πD, найти доверительный интервал
уровня 0.95 для π (см. задачу 87).

    91. Два баскетболиста соревнуются в попаданиях в кольцо с
линии штрафного броска. Какова вероятность того, что при 100
бросках они сделают одинаковое число промахов, меньшее 3, если
для одного из них вероятность попадания при одном броске равна
0.99, а для другого — 0.95?