Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

132 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение
47. n > 16. 48. При p
k
=
3
/
4
, n = 4 :
175
256
,
67
256
,
13
256
.
49. Показать, что
√
2k + 1 P
B
¡
k
¯
¯
2k,
1
2
¢
убывает, а
2
√
k P
B
¡
k
¯
¯
2k,
1
2
¢
возрастает по k.
50. При K = 3 , N = 1, p =
1
/
3
:
4
243
. 51.
1
/
N
. 52.
2
/
N
.
53. A. 54. При p =
2
/
3
: i)
26
27
; ii)
76
81
; iii)
74
81
.
55. (1 −p
2
)
N
. Отождествить каждое множество с N -мерным
вектором. 56. ((1 − p)
k
+ k p(1 −p)
k−1
)
N
.
57. (
k
Q
i=1
(1 − p
i
) +
k
P
m=1
p
m
1 − p
m
k
Q
i=1
(1 − p
i
))
N
.
58.
1575(π −1)
6
4π
10
≈ 0.00930655. 59. 0.1536.
60.
567
156250
. 61.
25515
524288
≈ 0.048666. 62.
5
746496
.
63.
45(4 − π)
4
π
32768
. 64.
1
2
k
. 65. Получат.
66. 1. 67.
1
/
2
. 68. ≈ 0.022222222. 69. p(1 − p)
k
.
70. Всегда называть ноль. Найти максимум вероятности сов-
падения в двух независимых бернуллиевских экспериментах.
71. P {k} =
1
2
k+1
.
72. Если успех в одной партии — это победа игрока В, то он
выиграет матч, когда второй успех придет не позднее пятой пар-
тии: P {B} =
131
243
, P {A} =
112
243
. Отношение шансов В к шансам
А равно ≈ 1.170 − победу следует отдать игроку В. Кстати, отно-
шение шансов до начала матча равнялось ≈ 1.094, то есть еще до
начала матча игрок В был несколько в привилегированном поло-
жении.
73. i)
2S−1
P
k=S
C
S−1
k−1
p
S
(1−p)
k−S
; ii) заменить p на ˜p =
p
1
p
1
+ p
2
,
где p
2
— вероятность выигрыша второго игрока.
74. (1 − p
1
− p
2
+ p
1
p
2
)
N−1
. 75. (1 − p)
N−1
(2 − (1 −p)
N−1
).
 132                Тема       V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение

                                                                 175      67      13
                 48. При pk = 3/4 , n = 4 :
       47. n > 16.                                               256
                                                                     ,   256
                                                                             ,    256
                                                                                        .
                          √          ¡ ¯                        1¢
   49. Показать, что        2k + 1 PB k ¯ 2k,                   2
                                                                         убывает,           а
 √    ¡ ¯      ¢
2 k P k ¯ 2k, 1 возрастает по k.
         B           2
                                                       4
       50. При K = 3, N = 1, p = 1/3 :                243
                                                          .   51. 1/N .        52. 2/N .
   53. A. 54. При p = 2/3 : i) 26  27
                                      ;  ii)
                                                76
                                                81
                                                   ; iii)
                                                          74
                                                          81
                                                             .
   55. (1 − p2)N . Отождествить каждое множество с N -мерным
вектором. 56. ((1 − p)k + k p(1 − p)k−1)N .
         Q
         k            P
                      k
                           pm Q
                                 k
                                               N
   57. ( (1 − pi) +      1−p
                                   (1 − p i ))   .
                                            m
              i=1                    m=1        i=1
                               6
              1575(π − 1)
       58.        4π 10
                             ≈ 0.00930655. 59. 0.1536.
               567              25515                     5
       60.    156250
                      .   61.  524288
                                        ≈ 0.048666. 62. 746496
                                                               .
              45(4 − π)4 π          1
       63.                 .  64.      . 65. Получат.
                 32768              2k
       66.   1. 67. 1/2 . 68. ≈ 0.022222222. 69. p(1 − p)k .
   70. Всегда называть ноль. Найти максимум вероятности сов-
падения в двух независимых бернуллиевских экспериментах.
                               1
       71. P {k} =             k+1   .
                           2
    72. Если успех в одной партии — это победа игрока В, то он
выиграет матч, когда второй успех придет не позднее пятой пар-
тии: P {B} = 131243
                    , P {A} = 112
                              243
                                  . Отношение шансов В к шансам
А равно ≈ 1.170 − победу следует отдать игроку В. Кстати, отно-
шение шансов до начала матча равнялось ≈ 1.094, то есть еще до
начала матча игрок В был несколько в привилегированном поло-
жении.
            P S−1 S
           2S−1
    73. i)      Ck−1 p (1− p)k−S ; ii) заменить p на p̃ = p p+1 p ,
                                                           1     2
           k=S
где p2 — вероятность выигрыша второго игрока.
       74. (1 − p1 − p2 + p1p2)N −1.             75. (1 − p)N −1(2 − (1 − p)N −1).

Страницы