Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

160 Т е м а VI. Распределения случайных величин
v) С.в. ξ v C(0, 1), −
a) η =
|ξ|
1 + |ξ|
, b) η =
1
ξ
.
vi) С.в. ξ v U[0; 1], −
a) η = 1 − ξ; b) η = −ln(1 − ξ); c) η = tg(π(ξ −
1
2
)).
29. Плотность вероятностей с.в. ξ равна f(x) =
C
/
x
4
, x > 1.
Найти распределение η =
1
/
ξ
.
30. Случайная точка ξ имеет равномерное распределение на
окружности x
2
+ (y − 1)
2
= 1 с центром в точке A = (0, 1), а
случайная точка η есть абсцисса точки пересечения прямой, про-
ходящей через A и ξ, с осью OX. Показать, что с.в. η имеет
распределение Коши C(0, 1).
31. Случайные величины ξ, η независимы и имеют стандарт-
ное нормальное распределение N(0, 1). Показать, что отношение
ξ
/
η
имеет распределение Коши C(0, 1).
32. Пусть случайный вектор (ξ, η) имеет (стандартизирован-
ное) нормальное распределение с плотностью ((x, y) ∈ R
2
)
f(x, y) =
1
2π
p
1 − ρ
2
exp
n
−
1
2(1 − ρ
2
)
(x
2
− 2ρxy + y
2
)
o
,
где параметр ρ ∈ (−1; 1) — так называемый коэффициент кор-
реляции. Найти маргинальные распределения и показать, что для
нормальной вероятностной модели независимость компонент век-
тора эквивалентна их некоррелированности (ρ = 0).
33. Показать, что если с.в. ξ имеет непрерывную функцию
распределения F (x), то с.в. η = F (ξ) v U[0; 1].
Подсказка. Определить для каждого y ∈ [0; 1] ,,обратную‘‘
функцию
F
∗
(y) = suphz : F (z) < yi.
 160                    Тема      VI. Распределения случайных величин


       v)    С.в. ξ v C(0, 1), −
                         |ξ|
             a)   η = 1 + |ξ| ,        b)   η = 1ξ .

       vi)   С.в. ξ v U[0; 1], −
             a) η = 1 − ξ;     b) η = − ln(1 − ξ);           c)   η = tg(π(ξ − 21 )).
   29. Плотность вероятностей с.в. ξ равна f (x) = C/x4 , x > 1.
Найти распределение η = 1/ξ .
   30. Случайная точка ξ имеет равномерное распределение на
окружности x2 + (y − 1)2 = 1 с центром в точке A = (0, 1), а
случайная точка η есть абсцисса точки пересечения прямой, про-
ходящей через A и ξ, с осью OX. Показать, что с.в. η имеет
распределение Коши C(0, 1).
    31. Случайные величины ξ, η независимы и имеют стандарт-
ное нормальное распределение N(0, 1). Показать, что отношение
ξ/η имеет распределение Коши C(0, 1).

    32. Пусть случайный вектор (ξ, η) имеет (стандартизирован-
ное) нормальное распределение с плотностью ((x, y) ∈ R 2)
                            n                           o
                   1               1       2          2
      f (x, y) = p     2
                         exp − 2(1 − ρ2) (x − 2ρxy + y ) ,
                        2π     1−ρ

где параметр ρ ∈ (−1; 1) — так называемый коэффициент кор-
реляции. Найти маргинальные распределения и показать, что для
нормальной вероятностной модели независимость компонент век-
тора эквивалентна их некоррелированности (ρ = 0).
   33. Показать, что если с.в. ξ имеет непрерывную функцию
распределения F (x), то с.в. η = F (ξ) v U[0; 1].
  Подсказка.                 Определить для каждого y ∈ [0; 1] ,,обратную‘‘
функцию

                               F ∗(y) = suphz : F (z) < yi.

Страницы