Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 161 стр.

                               Задачи                            161


Установить справедливость следующих свойств функции F ∗ :
      i)    F (F ∗(y)) 6 y;
      ii)   F (F ∗(y)) = y, если F непрерывна в точке x = F ∗(y) ;
     iii)   F ∗(F (x)) 6 x;
     iv)    F ∗(F (x)) = x только, если ∀z < x F (z) < F (x);
      v)    если F непрерывна и строго возрастает, то F ∗ = F −1.

    34. Способ генерирования с.в. Большинство ,,продвинутых‘‘
языков программирования имеют в своих библиотеках встроенные
датчики равномерно распределенных случайных (псевдослучай-
ных) чисел. Однако чаще всего возникает потребность в генериро-
вании случайных чисел с некоторым заданным распределением F.
В этом случае (как вариант) можно воспользоваться следующим
приемом. Пусть η v U[0; 1]. Доказать, что ф.р. с.в. ξ = F ∗(η) (см.
задачу 33) совпадает с F.
   35. Случайный вектор (ξ, η) v U(X ). Проверить независи-
мость компонент вектора (ξ, η) , если
       i) X — единичная окружность с центром в точке (0,0);
      ii) X — треугольник с вершинами (0,0), (0,1), (1,0);
     iii) X — квадрат с вершинами (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1);
     iv) X — прямоугольник с вершинами (0,0), (0,1), (2,1), (2,0).

    36. Доказать, что в условиях задачи 35 iii с.в. ξ + η и ξ − η
независимы.
   37. Доказать, что свертка имеет абсолютно непрерывный тип
распределения и найти вид ее пл.в., если одно из слагаемых абсо-
лютно непрерывно, а другое — дискретно.
   Подсказка. Воспользоваться формулой полной вероятности.
   38. Найти распределение суммы независимых дискретных с.в.
ξ и η, если