Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 163
45. Пусть ξ, η v U[0; 1] — независимые с.в. Какое распреде-
ление имеет с.в.
ζ =
(
ξ + η, если 0 6 ξ + η 6 1,
ξ + η −1, если 1 < ξ + η 6 2 ?
46. Показать, что ф.р. биномиальной с.в. ξ v Bin(n, p) мож-
но вычислить через ф.р. F (x | a, b) бета–закона с параметрами
a = k, b = n − p + 1 с помощью равенства
P {ξ > k} = F (p | a, b) :=
1
B(a, b)
Z
p
0
x
a−1
(1 − x)
b−1
dx.
47. Доказать, что если с.в. ξ v E(λ), то dξe (ближайшее
целое не меньше ξ ) будет иметь геометрическое распределение.
Найти его параметры.
48. Доказать, что если каждая из независимых случайных ве-
личин ξ
1
и ξ
2
имеет геометрическое распределение, то случайная
величина η = min(ξ
1
, ξ
2
) также имеет геометрическое распреде-
ление. Найти параметр этого распределения, если параметры рас-
пределений ξ
1
и ξ
2
равны соответственно p
1
и p
2
. Сравнить с
результатом задачи 74, с. 124.
49.
>
Найти функцию распределения суммы независимых с.в.
ξ и η, если ξ v U(0, 1), а η имеет произвольное распределение с
ф.р. F
η
(x).
50. Какое распределение имеет с.в. η = min(ξ
1
, . . . , ξ
n
), если
с.в. ξ
i
, i = 1, n , независимы и ξ
i
v E(λ
i
).
51. Пусть ξ
i
v E(λ
i
), i = 1, 2, — независимые с.в.
(a) Чему равна вероятность P {ξ
1
< ξ
2
}?
(b) Показать независимость с.в. η
1
= min(ξ
1
, ξ
2
) и η
2
= ξ
1
−ξ
2
.
52. Случайные величины ξ
1
, . . . , ξ
n
независимы и имеют экс-
поненциальное распределение с параметром λ. Доказать, что сум-
ма ξ
1
+ . . . + ξ
n
v G(p, λ) с параметром p = n.
                             Задачи                                      163


   45. Пусть ξ, η v U[0; 1] — независимые с.в. Какое распреде-
ление имеет с.в.
                 (
                   ξ + η,     если 0 6 ξ + η 6 1,
             ζ=
                   ξ + η − 1, если 1 < ξ + η 6 2 ?
   46. Показать, что ф.р. биномиальной с.в. ξ v Bin(n, p) мож-
но вычислить через ф.р. F (x | a, b) бета–закона с параметрами
a = k, b = n − p + 1 с помощью равенства
                                    Z           p
                                    1
    P {ξ > k} = F (p | a, b) :=   B(a, b)
                                                    xa−1(1 − x)b−1 dx.
                                            0
   47. Доказать, что если с.в. ξ v E(λ), то dξe (ближайшее
целое не меньше ξ ) будет иметь геометрическое распределение.
Найти его параметры.
    48. Доказать, что если каждая из независимых случайных ве-
личин ξ1 и ξ2 имеет геометрическое распределение, то случайная
величина η = min(ξ1, ξ2) также имеет геометрическое распреде-
ление. Найти параметр этого распределения, если параметры рас-
пределений ξ1 и ξ2 равны соответственно p1 и p2. Сравнить с
результатом задачи 74, с. 124.
   49.> Найти функцию распределения суммы независимых с.в.
ξ и η, если ξ v U(0, 1), а η имеет произвольное распределение с
ф.р. Fη (x).
    50. Какое распределение имеет с.в. η = min(ξ1, . . . , ξn), если
с.в. ξi, i = 1, n , независимы и ξi v E(λi).
   51. Пусть ξi v E(λi), i = 1, 2, — независимые с.в.
   (a) Чему равна вероятность P {ξ1 < ξ2}?
   (b) Показать независимость с.в. η1 = min(ξ1, ξ2) и η2 = ξ1 −ξ2.
   52. Случайные величины ξ1, . . . , ξn независимы и имеют экс-
поненциальное распределение с параметром λ. Доказать, что сум-
ма ξ1 + . . . + ξn v G(p, λ) с параметром p = n.

Страницы