Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

162 Т е м а VI. Распределения случайных величин
i)
(
ξ v Bern(p),
η v Bern(p);
ii)
(
ξ v P(λ),
η v P(λ);
iii)
(
ξ v Bin(n
1
, p),
η v Bin(n
2
, p).
39. Случайные величины ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
v U(0, 1) и независимы.
(a) Чему равна P {0.5 6 ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
6 2.5}?
(b) Продолжив вычисления примера 11, с. 154, найти плот-
ность суммы ξ
1
+ ξ
2
+ ξ
3
, нарисовать ее график и сравнить с
графиком нормальной N(
3
/
2
,
1
/
4
) плотности, восхитившись при
этом их изумительной схожестью.
40. Доказать, что если с.в. ξ имеет симметричное распреде-
ление (см. задачу 7, с. 145), причем ф.р. ξ непрерывна в нуле, то
с.в. |ξ| и sign(ξ) независимы.
41. Симметризация. Доказать, что разность двух независи-
мых одинаково распределенных с.в. всегда имеет симметричное
распределение. Можно ли здесь отказаться от условия независи-
мости?
42. Найти плотность вероятностей суммы независимых абсо-
лютно непрерывных с.в. ξ и η, если
i) ξ, η v E(λ); ii) ξ, η v N(0, 1);
iii) ξ v U[0; 1], η v U[−1; 0]; iv) ξ v U[0; 1], η v U[0; 2];
v) ξ v U[0; 1], η v E(1).
43. Пусть ξ и η — независимые с.в. с плотностями f
ξ
(x) и
f
η
(y). Найти плотность вероятностей с.в. ζ = ζ(ξ, η) :
a) ζ = max(ξ, η); b) ζ = min(ξ, η); c) ζ =
ξ
/
η
;
d) ζ = ξ
2
+ η
2
; применить к случаю ξ, η v N(0, 1).
44. Пусть ξ v U[0; 2π], ϑ v C(0, 1). Показать, что
cos
2
(ξ) v
1
/
(1 + ϑ
2
)
.
 162                    Тема     VI. Распределения случайных величин

            (                         (                     (
                ξ v Bern(p),               ξ v P(λ),            ξ v Bin(n1, p),
       i)                    ii)                     iii)
                η v Bern(p);               η v P(λ);            η v Bin(n2, p).

   39. Случайные величины ξ1, ξ2, ξ3 v U(0, 1) и независимы.
    (a) Чему равна P {0.5 6 ξ1 + ξ2 + ξ3 6 2.5}?
    (b) Продолжив вычисления примера 11, с. 154, найти плот-
ность суммы ξ1 + ξ2 + ξ3, нарисовать ее график и сравнить с
графиком нормальной N( 3/2 , 1/4 ) плотности, восхитившись при
этом их изумительной схожестью.

     40. Доказать, что если с.в. ξ имеет симметричное распреде-
ление (см. задачу 7, с. 145), причем ф.р. ξ непрерывна в нуле, то
с.в. |ξ| и sign(ξ) независимы.

   41. Симметризация. Доказать, что разность двух независи-
мых одинаково распределенных с.в. всегда имеет симметричное
распределение. Можно ли здесь отказаться от условия независи-
мости?

   42. Найти плотность вероятностей суммы независимых абсо-
лютно непрерывных с.в. ξ и η, если
        i)  ξ, η v E(λ);                          ii)ξ, η v N(0, 1);
       iii) ξ v U[0; 1], η v U[−1; 0];           iv) ξ v U[0; 1], η v U[0; 2];
        v) ξ v U[0; 1], η v E(1).

     43. Пусть ξ и η — независимые с.в. с плотностями fξ (x) и
fη (y). Найти плотность вероятностей с.в. ζ = ζ(ξ, η) :

        a)      ζ = max(ξ, η);        b)   ζ = min(ξ, η);        c)    ζ = ξ/η ;
        d)      ζ = ξ 2 + η 2; применить к случаю ξ, η v N(0, 1).

       44. Пусть ξ v U[0; 2π], ϑ v C(0, 1). Показать, что
                             cos2(ξ) v 1/(1 + ϑ2) .

Страницы