Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 164 стр.

 164              Тема   VI. Распределения случайных величин


    52 (Продолжение). Время службы электронного блока пред-
ставляет собой с.в., подчиненную экспоненциальному закону. По
выходе из строя блок мгновенно заменяется исправным блоком.
Какое распределение имеет с.в. ν, равная количеству блоков, ис-
пользованных за время t ?
    53. Отсутствие старения. Часто экспоненциальные с.в. ξ ин-
терпретируют как время жизни некоторого объекта. Показать, что
для таких объектов вероятность ,,прожить‘‘ заданное время ∆ не
зависит от начала t0 наблюдения за ней (эффект отсутствия по-
следействия): ∀t0, ∆ > 0
                P {ξ > t0 + ∆ | ξ > t0} = P {ξ > ∆} .

    53 (Продолжение.) Показать, что свойством отсутствия старе-
ния, правда, справедливым только для t0, ∆ > 1 и хотя бы одно
из чисел t0 или ∆ целое, обладают с.в. с распределением Geo(p).
       54. Постоянство интенсивности отказов. Отношение
                                 f (t)
                                           ,
                               1 − F (t)

где F — ф.р., а f = F 0 — функция плотности с.в., называют
интенсивностью отказов. Расшифровать смысл этого термина. До-
казать, что только для экспоненциальной модели интенсивность
отказов постоянна, то есть не зависит от t.
   55.g Найти распределение отношения ξ/(ξ + η) (при независи-
мых с.в. ξ, η ), если i) ξ, η v E(λ) ; ii) ξ v G(p, λ), η v G(q, λ).
   56. С.в. ξ, η независимы и имеют экспоненциальное распреде-
ление E(1). Доказать, что с.в. ξ + η и ξ/η также независимы.
   57. ³Пусть ´ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 — одинаково распределенные с.в. с ф.р.
вида F x −σ
            µ
                , x ∈ (−∞; ∞). Доказать, что распределение с.в.
                                 ξ1 − ξ2
                                 ξ3 − ξ4