Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи 165
не зависит от значений параметров µ, σ. Найти ее плотность, если
функция F = Φ — ф.р. стандартного нормального закона и все
с.в. независимы.
58. Пусть с.в. ξ v U[0; 1] . Определим семейство с.в. (процесс)
η
t
= I(ξ < t), t ∈ [0; 1].
Найти совместное распределение (η
t
, η
u
) при t < u.
59.
g
Пусть F (x) — произвольная ф.р. и константа ∆ > 0.
Найти
∞
Z
−∞
£
F (x + ∆) − F (x)
¤
dx .
60.
>
Пусть функция f(x) > 0 такова, что
∞
R
0
f(x) dx < ∞.
Используя только вероятностные соображения, доказать справед-
ливость соотношений:
lim
x→∞
x
∞
Z
x
f(z)
z
dz = 0, lim
x→+0
x
∞
Z
x
f(z)
z
dz = 0.
61.
>
Пусть с.в. ξ удовлетворяет свойству отсутствия старения
(см. задачу 53, с. 164):
P {ξ > t
0
+ ∆ | ξ > t
0
} = P {ξ > ∆}. (⊗)
Доказать, что если свойство (⊗) имеет место:
i) для любых t
0
, ∆ > 0 и ф.р. F
ξ
(0) = F
ξ
(0+) = 0, то
ξ v E(λ) с некоторым λ > 0;
ii) для любых целых t
0
, ∆ > 1 и с.в. ξ принимает только
натуральные значения —
P
∞
k=1
P {ξ = k} = 1, то ∃p > 0, что
ξ v Geo(p).
                              Задачи                                    165


не зависит от значений параметров µ, σ. Найти ее плотность, если
функция F = Φ — ф.р. стандартного нормального закона и все
с.в. независимы.
   58. Пусть с.в. ξ v U[0; 1]. Определим семейство с.в. (процесс)

                      ηt = I(ξ < t),    t ∈ [0; 1].

Найти совместное распределение (ηt, ηu) при t < u.
   59.g Пусть F (x) — произвольная ф.р. и константа ∆ > 0.
Найти              Z∞
                      £                 ¤
                       F (x + ∆) − F (x) dx .
                     −∞

      >
                                                          R∞
   60. Пусть функция f (x) > 0 такова, что                     f (x) dx < ∞.
                                                          0
Используя только вероятностные соображения, доказать справед-
ливость соотношений:
               Z∞                      Z∞
                  f (z)                   f (z)
         lim x          dz = 0,  lim x          dz = 0.
           x→∞       z                 x→+0           z
                 x                              x

    61.> Пусть с.в. ξ удовлетворяет свойству отсутствия старения
(см. задачу 53, с. 164):
                 P {ξ > t0 + ∆ | ξ > t0} = P {ξ > ∆} .                (⊗)
Доказать, что если свойство (⊗) имеет место:
      i)для любых t0, ∆ > 0 и ф.р. Fξ (0) = Fξ (0+) = 0, то
ξ v E(λ) с некоторым λ > 0;
     ii)для любых целых t0, ∆ > 1 и с.в. ξ принимает только
                       P∞
натуральные значения —    k=1 P {ξ = k} = 1, то ∃p > 0, что
ξ v Geo(p).

Страницы