Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ответы и указания 167
9. Решить неравенство kξ + b < x относительно ξ при от-
рицательном k.
10. Для гипергеометрической модели. Способ I. По индукции,
начиная с R = 1 и любых M > 1. Способ II. Сравнить коэффици-
енты при t
n
у двух совпадающих полиномов (1 + t)
R
(1 + t)
M−R
=
(1 + t)
M
. Для нормальной модели. С помощью замен привести ин-
теграл к гамма–функции.
11. На носителе — отрезок прямой линии от (A, 0) до (B, 1).
12. i) 1 −e
−x/λ
, x > 0; ii)
1
2
(1 + sign(x)(1 − e
−|x|/λ
));
iii)
1
2
+
1
π
arctg(
x − µ
σ
).
13. Решить неравенство |ξ| < x относительно ξ.
14. Если ξ v N(µ, σ
2
), то
ξ − µ
σ
v N(0, 1).
15. Аналогично решению задачи 1.
16. Для ∀ C, D рассмотреть прообразы A = h
−1
(C), B =
g
−1
(D); воспользоваться тем, что P {h(ξ) ∈ C, g(η) ∈ D} =
P {ξ ∈ A, η ∈ B}. Простое доказательство независимости через
ф.р. можно предложить только для монотонных и непрерывных
функций.
17. P {ξ + η = z} =
N
1
P
k=1
P {x
k
+ η = z | ξ = x
k
}P {ξ = x
k
}.
18. Найти ф.р. суммы двух с.в. с помощью формулы полной
вероятности.
19. Способ I. Непосредственно из определения с.в. Паскаля
как времени ожидания S -го успеха. Способ II. Записать свертку
Pasc(p, S
1
) ◦ Pasc(p, S
2
); воспользоваться тождеством для суммы
всех вероятностей гипергеометрического закона.
20. i) дискретного типа; абсолютно-непрерывного типа;
ii) нет; дискретного типа; iii) ф.р. общего типа; нет;
iv) нет; абсолютно-непрерывного типа;
                          Ответы и указания                               167


    9. Решить неравенство kξ + b < x относительно ξ при от-
рицательном k.
    10. Для гипергеометрической модели. Способ I. По индукции,
начиная с R = 1 и любых M > 1. Способ II. Сравнить коэффици-
енты при tn у двух совпадающих полиномов (1 + t)R (1 + t)M −R =
(1 + t)M . Для нормальной модели. С помощью замен привести ин-
теграл к гамма–функции.
       11. На носителе — отрезок прямой линии от (A, 0) до (B, 1).
                                        1
       12. i) 1 − e−x/λ, x > 0;   ii)
                                        2
                                          (1 + sign(x)(1 − e −|x|/λ
                                                                    ));
       1
iii)
       2
         + 1π arctg( x −
                       σ
                         µ
                           ).
       13. Решить неравенство |ξ| < x относительно ξ.
       14. Если ξ v N(µ, σ 2), то ξ −
                                    σ
                                      µ
                                        v N(0, 1).
       15. Аналогично решению задачи 1.
     16. Для ∀ C, D рассмотреть прообразы A = h−1(C), B =
g −1(D); воспользоваться тем, что      P {h(ξ) ∈ C, g(η) ∈ D} =
P {ξ ∈ A, η ∈ B} . Простое доказательство независимости через
ф.р. можно предложить только для монотонных и непрерывных
функций.
                         P
                         N1
     17. P {ξ + η = z} =    P {xk + η = z | ξ = xk } P {ξ = xk } .
                            k=1
    18. Найти ф.р. суммы двух с.в. с помощью формулы полной
вероятности.
    19. Способ I. Непосредственно из определения с.в. Паскаля
как времени ожидания S -го успеха. Способ II. Записать свертку
Pasc(p, S1) ◦ Pasc(p, S2); воспользоваться тождеством для суммы
всех вероятностей гипергеометрического закона.
     20. i) дискретного типа; абсолютно-непрерывного типа;
ii) нет; дискретного типа; iii) ф.р. общего типа; нет;
iv) нет; абсолютно-непрерывного типа;

Страницы