Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ответы и указания 169
ii) a) {(0,
1
32
), (1,
3
16
), (3,
15
32
), (4,
5
16
)}; b) Bern(
1
2
).
iii) a)
1
3
3
√
x
2
e
−
3
√
x
, x > 0; b)
1
x
2
e
−1/x
, x > 0; c) 2x e
−x
2
, x > 0;
d) U[0; 1]; e) exp{x − e
x
}, x ∈ R
1
; f)
1
cos
2
x
e
−tg x
, x ∈ [0;
π
/
2
);
g) Geo(1 − e
−1
); h)
e
e − 1
e
−x
, x ∈ (0; 1).
iv) Здесь везде φ(x) =
1
√
2π
exp{−
1
2
x
2
}.
a) G(
1
/
2
,
1
/
2
) — хи-квадрат распределение;
b)
1
x
φ(ln x), x > 0; c) 2φ(x), x > 0; d)
1
3
3
√
x
2
φ(
3
√
x);
e)
1
x
2
φ(
1
x
); f)
1
2
4
√
x
3
φ(
4
√
x), x > 0; g) не имеет плотности;
ф.р. равна 0 при x 6 0 и Φ(x) при x > 0.
v) a)
2
π
(1 −2x + 2x
2
)
−1
, 0 < x < 1; b) C(0, 1).
vi) a) U[0, 1]; b) E(1); c) C(0, 1).
29. 3y
2
, y ∈ [0; 1].
30. Равномерная распределенность на окружности означает,
что вероятность попадания точки ξ внутрь любой дуги окружно-
сти пропорциональна угловой мере дуги. Выбрать в качестве нача-
ла отсчета (против хода часовой стрелки) точку пересечения оси
ординат с окружностью; связать неравенство η < y для рассмат-
риваемой точки на оси абсцисс с множеством соответствующих то-
чек на окружности.
31. Описать область {
x
y
< z} = {x < z · y, y > 0}
S
{x >
z · y, y < 0} через полярные координаты.
32. Воспользоваться критерием независимости. При вычисле-
нии частных плотностей (посредством интегрирования совместной
плотности по dx или dy ) выделить под знаком экспоненты пол-
ный квадрат; соответствующей заменой привести подынтеграль-
ную функцию к одномерной нормальной плотности.
33. i, ii) ∃z
n
% (&) F
∗
(y) ⇒ y > (6) F (z
n
) % (&) F (x);
iii) из определения F
∗
; iv) если ∃z < x F (z) = F (x)
                                Ответы и указания                                         169

               1          3
ii) a)    {(0, 32 ), (1, 16 ), (3, 15
                                   32
                                      ), (4, 5
                                             16
                                                )};    b)    Bern( 12 ).
                   √
            1     −3x                     1 −1/x                                  2
iii) a)     √
            3   e     ,x   > 0;      b)
                                          x2
                                             e   ,x        > 0;     c)   2x e−x , x > 0;
           3 x2
                                                              1
d)    U[0; 1];     e)   exp{x − ex}, x ∈ R 1;         f)
                                                            cos2 x
                                                                   e− tg x, x   ∈ [0; π/2 );
                              e
g)    Geo(1 − e−1);       h)
                             e−1
                                  e −x
                                       , x ∈ (0; 1).
iv)Здесь везде φ(x)         = √1 exp{− 21 x2}.
                                2π
a) G( 1/2 , 1/2 ) — хи-квадрат распределение;
       1                                                                    1           √
b)        φ(ln x), x > 0;           c)    2φ(x), x > 0;              d)     √         φ( 3 x);
      x                                                                     3
                                                                           3 x2
      1      1           1          √
e)      2 φ( x );    f) √         φ( 4 x), x > 0;           g)   не имеет плотности;
      x                  4
                        2 x3
ф.р. равна 0 при x 6 0 и Φ(x) при x > 0.
       2              2 −1
v) a)    (1 −  2x + 2x ) , 0 < x < 1; b) C(0, 1).
       π
vi) a) U[0, 1]; b) E(1); c) C(0, 1).
      29. 3y 2, y ∈ [0; 1].
     30. Равномерная распределенность на окружности означает,
что вероятность попадания точки ξ внутрь любой дуги окружно-
сти пропорциональна угловой мере дуги. Выбрать в качестве нача-
ла отсчета (против хода часовой стрелки) точку пересечения оси
ординат с окружностью; связать неравенство η < y для рассмат-
риваемой точки на оси абсцисс с множеством соответствующих то-
чек на окружности.
                                                        S
     31. Описать область { xy < z} = {x < z · y, y > 0} {x >
z · y, y < 0} через полярные координаты.
   32. Воспользоваться критерием независимости. При вычисле-
нии частных плотностей (посредством интегрирования совместной
плотности по dx или dy ) выделить под знаком экспоненты пол-
ный квадрат; соответствующей заменой привести подынтеграль-
ную функцию к одномерной нормальной плотности.
     33. i, ii) ∃zn % (&) F ∗(y) ⇒ y > (6) F (zn) % (&) F (x);
iii) из определения F ∗ ; iv) если ∃z < x F (z) = F (x)

Страницы