Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ответы и указания 171
d)
2π
R
0
f
ξ
(
√
z cos t)f
η
(
√
z sin t) dt; E(2).
44. Найти ф.р.; применить равенство arccos
√
x =
arctg
q
1
x
− 1.
45. U[0; 1]. 46. Проинтегрировать по частям; представить
бета–функцию через биномиальные коэффициенты.
47. Для любого целого k > 1 с.в. dξe = k ⇔ k −1 < ξ 6 k.
48. p
1
+ p
2
− p
1
p
2
. Найти вероятность P {η > k}.
49.
R
1
0
F
η
(z − x) dx. 50. E(
P
n
1
λ
i
). 51. (a)
λ
1
λ
1
+ λ
2
.
52. Показать, что свертка G(p, λ) ◦ E(λ) = G(p + 1, λ).
52 (Продолжение). ν v P(
t
/
λ
). Событие {ν = n} ⇔ {η
n
6
t, η
n
+ ξ
n+1
> t}, где η
n
= ξ
1
+ . . . + ξ
n
не зависит от ξ
n+1
.
53. Представить условную вероятность через
h
h
функцию
надежности
i
i
P {ξ > a} = 1−F
ξ
(a) с.в. ξ v E(λ) или ξ v Geo(p).
54. Заменить пл.в. f через производную от ф.р.: f(t) =
F
0
(t) = lim
∆→0
F (t + ∆) − F (t)
∆
. Отношение
F (t + ∆) − F (t)
∆(1 − F (t))
можно ин-
терпретировать как долю объектов, вышедших из строя за едини-
цу времени в период от t до t + ∆, если рассматривать только
объекты, ,,дожившие‘‘ до момента t. Решить уравнение F
0
(t) =
λ(1 − F (t)).
55. i) U[0; 1]. ii) B(p, q). Заметить сначала, что можно
выбрать λ = 1. Проинтегрировать по области
x
x + y
< z при
0 < z < 1 совместную пл.в.
x
p−1
Γ(p)
e
−x
y
q−1
Γ(q)
e
−y
. i) (p = q = 1).
Интеграл равен z. ii) найти производную по z ; преобразовать ее
к виду бета–плотности (с. 146).
56. Совместная ф.р. F (u, v) = P
n
ξ + η < u,
ξ
η
< v
o
может
быть представлена в виде интеграла по соответствующей области
                                Ответы и указания                          171


     R2π       √            √
d)         fξ ( z cos t)fη ( z sin t) dt; E(2).
     0
                                                                    √
    44.
     q Найти            ф.р.;    применить        равенство   arccos x       =
arctg x1 − 1.
    45. U[0; 1]. 46. Проинтегрировать по частям; представить
бета–функцию через биномиальные коэффициенты.
     47. Для любого целого k > 1 с.в. dξe = k ⇔ k − 1 < ξ 6 k.
     48. p1 + p2 − p1p2. Найти вероятность P {η > k} .
         R1                      P
     49. 0 Fη (z − x) dx. 50. E( n1 λi). 51. (a) λ λ+1 λ .
                                                               1       2

     52. Показать, что свертка G(p, λ) ◦ E(λ) = G(p + 1, λ).
     52 (Продолжение). ν v P( t/λ ). Событие {ν = n} ⇔ {ηn 6
t, ηn + ξn+1 > t}, где ηn = ξ1 + . . . + ξn не зависит от ξn+1.
   53. Представить условную вероятность через h функцию            h



надежности i P {ξ > a} = 1−Fξ (a) с.в. ξ v E(λ) или ξ v Geo(p).
                  i




     54. Заменить пл.в. f через производную от ф.р.: f (t) =
              F (t + ∆) − F (t)             F (t + ∆) − F (t)
F 0(t) = lim         ∆
                                . Отношение   ∆(1 − F (t))
                                                              можно ин-
         ∆→0
терпретировать как долю объектов, вышедших из строя за едини-
цу времени в период от t до t + ∆, если рассматривать только
объекты, ,,дожившие‘‘ до момента t. Решить уравнение F 0(t) =
λ(1 − F (t)).
   55. i) U[0; 1]. ii) B(p, q). Заметить сначала, что можно
                                               x
выбрать λ = 1. Проинтегрировать по области x +   y
                                                    < z при
                                          p−1       q−1
                                x      y
0 < z < 1 совместную пл.в. Γ(p)    e−x Γ(q) e−y . i) (p = q = 1).
Интеграл равен z. ii) найти производную по z ; преобразовать ее
к виду бета–плотности (с. 146).
                                     n                   o
                                                    ξ
    56. Совместная ф.р. F (u, v) = P ξ + η < u, η < v может
быть представлена в виде интеграла по соответствующей области

Страницы