Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 172 стр.

 172               Тема    VI. Распределения случайных величин


от произведения экспоненциальных плотностей. Вычислить этот
                                      v          −u     −u
интеграл и показать, что F (u, v) = 1 + v
                                          (1 − e    − ue   ).
    57. C(0, 1). Показать, что распределение с.в. (ξi − µ)/σ не
зависит от параметров. Показать, что в случае нормальности рас-
пределения ξi рассматриваемое отношение имеет то же распре-
деление, что и отношение двух независимых стандартных (0, 1)
нормальных с.в. Установить, что это распределение совпадает со
стандартным распределением Коши.
     58. Дискретный случайный вектор с распределением
(ηt, ηu) v {{(0, 0), 1 − u}, {(0, 1), u − t}, {(1, 0), 0}, {(1, 1), t}}.
       59. ∆.
   Способ I. Произвести замену порядка интегрирования в выра-
      R B ¡R x+∆      ¢
жении A x d F (y) d x. Перейти к пределу при A, B → ∞.
     Способ II. Геометрически искомый интеграл есть площадь об-
ласти, лежащей между двумя кривыми. Изобразить эту область и
поменять местами оси координат.
                            R x/z
    60. Заметить, что xz = 0 du; представить исследуемый ин-
теграл в виде P {ξ > x, ξη < x} относительно независимых с.в.
ξ, η (каких?).
     61. Вывести для H(t) = P {ξ > t} тождество H(t + ∆) =
H(t)H(∆). Показать, что H(k) = H(1)k , k = 1, 2, . . .
  ii) положить p = 1 − H(1). Доказать,что 0 < p < 1.
   i) показать, что H(t) = H(1)t , сначала для рациональных t =
k/m , k, m = 1, 2, . . . , затем для произвольных t > 0. Показать,
что 0 < H(1) < 1. Выбрать λ = − ln(H(1)) (> 0).