Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 170 стр.

 170                Тема    VI. Распределения случайных величин


⇒ F ∗(F (x)) 6 z < x; обратно из определения F ∗.
    34. Найти ф.р. P {ξ < x} ; показать, что
если ∃z < x F (z) = F (x), то [F ∗(y) < x ⇔ y 6 F (x)];
если ∀z < x F (z) < F (x), то [F ∗(y) < x ⇔ y < F (x)].
       35. i-iii) зависимы; iv) независимы.
   36. Найти совместную ф.р. P {ξ + η < u, ξ − η < v}, то есть
вычислить площадь соответствующей области внутри квадрата;
показать, что эта ф.р. распадается в произведение двух функций
F1(u) · F2(v).
    37. Воспользоваться          формулой      полной   вероятно-
сти и записать ф.р. суммы в виде P {ξ + η < u}                 =
P
  yk P {ξ + yk < u | η = yk } P {η = yk } . Так как ξ и η неза-
висимы, то P {ξ + yk < u | η = yk } = P {ξ < u − yk } .
       38. i) Bin(2, p);   ii)   P(2λ);   ii)   Bin(n1 + n2, p).
    39. (a) 23
            24
               . Дополнительная область состоит из двух равно-
великих пирамид. (b) Найти свертку треугольного распределения
с равномерным.
   40. Представить вероятность P {|ξ| < x, sign(ξ) = y} при
x > 0, y = ∓1, 0 через ф.р. с.в. ξ; найти связь между значениями
ф.р. в отрицательных и положительных точках для симметрич-
ного распределения; вывести отсюда, что F (0) = 1/2 , если ф.р.
непрерывна в точке x = 0.
   41. Показать, что в условиях задачи (ξ, η) v (η, ξ); вывести
отсюда, что P {ξ − η < z} = P {η − ξ < z} .
    42. i) G(2, λ); ii) N(0, 2); iii) (1 − |x|), при x ∈ [−1; 1];
                           1                   (3 − x)
iv) x/2 , при x ∈ [0; 1],    , при x ∈ [1; 2],         , при x ∈ [2; 3];
                           2                      2
v) (1 − e−x ), при x ∈ [0; 1], e−x (e − 1), при x > 0.
     43. a) fξ (z)Fη (z) + fη (z)Fξ (z); b) fξ (z)(1 − Fη (z)) + fη (z)(1 −
             R∞
Fξ (z)); c) −∞ |y|fξ (zy)fη (y) dy;