Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

174 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
Среднее значение E(ξ
k
) называется моментом k-го порядка.
Среднее значение с.в. ξ часто обозначается символом µ :
µ = E ξ.
Среднеквадратическое отклонение с.в. ξ от своего среднего на-
зывается дисперсией ξ и обозначается D ξ, либо символом σ
2
:
σ
2
= D ξ := E(ξ −µ)
2
.
Величина σ =
√
D ξ называется стандартным отклонением ξ.
∗ ∗ ∗
Теорема .
• Свойства математического ожидания.
1. E const = const.
2. Для индикаторной функции E(I
A
(ξ)) = P {ξ ∈ A}.
3. E(ξ + η) = E ξ + E η (если существуют E ξ, E η ).
4. E Cξ = C E ξ , (C − const).
5. Если ξ > 0, то E ξ > 0, причем E ξ = 0 ⇔ P {ξ = 0} = 1 .
6. Если ξ, η независимы и E ξ, E η существуют, то
E ξη = E ξ E η.
• Свойства дисперсии.
1. Способ вычисления D ξ = E ξ
2
− (E ξ)
2
.
2. D ξ = 0 только, если ξ = const почти наверное.
3. D(Cξ + b) = C
2
D ξ , (C, b − const).
4. Если ξ, η независимы, то D(ξ + η) = D ξ + D η.
∗ ∗ ∗
Пример 1. (Совсем простой.) Найдем м.о. и дисперсию
дискретной с.в., заданной таблицей, дополнив эту таблицу соответ-
ствующими произведениями и суммами:
 174             Тема   VII. Числовые характеристики случайных величин




  Среднее значение E(ξ k ) называется моментом k-го порядка.
  Среднее значение с.в. ξ часто обозначается символом µ :
                                    µ = E ξ.
  Среднеквадратическое отклонение с.в. ξ от своего среднего на-
  зывается дисперсией ξ и обозначается D ξ, либо символом σ 2:
                           σ 2 = D ξ := E(ξ − µ)2.
                     √
  Величина σ =        D ξ называется стандартным отклонением ξ.


       Теорема .                      ∗∗∗
  • Свойства математического ожидания.
        1.   E const = const.
        2.   Для индикаторной функции E(IA(ξ)) = P {ξ ∈ A} .
        3.   E(ξ + η) = E ξ + E η (если существуют E ξ, E η ).
        4.   E Cξ = C E ξ ,      (C − const).
        5.   Если ξ > 0, то E ξ > 0, причем E ξ = 0 ⇔ P {ξ = 0} = 1.
        6.   Если ξ, η независимы и E ξ, E η существуют, то
                              E ξη = E ξ E η.
  • Свойства дисперсии.
        1.   Способ вычисления      D ξ = E ξ 2 − (E ξ)2.
        2.   D ξ = 0 только, если ξ = const почти наверное.
        3.   D(Cξ + b) = C 2 D ξ ,   (C, b − const).
        4.   Если ξ, η независимы, то D(ξ + η) = D ξ + D η.
                                      ∗∗∗
   Пример 1.        (Совсем простой.) Найдем м.о. и дисперсию
дискретной с.в., заданной таблицей, дополнив эту таблицу соответ-
ствующими произведениями и суммами:

Страницы