Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 175
x
k
−10 0 5
p
k
0.3 0.3 0.4 1 ← проверка свойства вероятности
x
k
p
k
−3 0 2 −1
µ´
¶³
← как раз E ξ
x
2
k
p
k
30 0 10 40
µ´
¶³
← E ξ
2
(– ни в коем случае не надо p
2
k
)
Сумма
Итак, м.о. µ = E ξ = −1, дисперсия σ
2
= D ξ = 40 − (−1)
2
= 39,
а стандартное отклонение σ =
√
39 ≈ 6.245.
1. По свойству 4 дисперсия суммы независимых с.в. равна
сумме дисперсий. Будет ли дисперсия их разности равна разности
дисперсий?
2. Чему равен первый момент с.в., у которой второй момент
равен нулю?
3. Если µ = E ξ, σ
2
= D ξ, то преобразование ξ − µ назы-
вается центрированием, а преобразование
(ξ − µ)
σ
— нормирова-
нием. Чему равны
E
³
ξ − µ
σ
´
, D
³
ξ − µ
σ
´
?
Z 3 Если с.в. можно представить в виде суммы независимых с.в., нужно
обязательно этим воспользоваться.
Пример 2. Найдем м.о. и дисперсию времени ожидания
второго успеха в схеме Бернулли (распределения Паскаля).
Решение. При изучении свертки двух распределений мы пока-
зали, что данная с.в. может рассматриваться как сумма двух неза-
висимых геометрических с.в. Найдем сначала характеристики с.в.
ξ v Geo(p). Носитель ξ есть натуральный ряд X =
1, 2, . . .
®
, а
вероятность, с которой ξ принимает значение k, равна p(1−p)
k−1
.
Поэтому
µ = E ξ = p
∞
P
k=1
k (1 − p)
k−1
.
                          Теория и примеры                         175




   xk −10 0 5
   pk    0.3 0.3 0.4    1 ← проверка свойства вероятности
                     ¶³
  xk pk −3 0 2 −1    ¶³
                     µ´
                          ← как раз E ξ
   2
  xk p k  30 0 10 µ´  40  ← E ξ2   (– ни в коем случае не надо p2k )
                   Сумма

Итак, м.о. µ = E ξ = −1, дисперсия σ 2 = D ξ = 40 − (−1)2 = 39,
                             √
а стандартное отклонение σ = 39 ≈ 6.245.

     1. По свойству 4 дисперсия суммы независимых с.в. равна
сумме дисперсий. Будет ли дисперсия их разности равна разности
дисперсий?
     2. Чему равен первый момент с.в., у которой второй момент
равен нулю?
     3. Если µ = E ξ, σ 2 = D ξ, то преобразование ξ − µ назы-
                                           (ξ − µ)
вается центрированием, а преобразование       σ
                                                   — нормирова-
нием. Чему равны
                     ³      ´     ³      ´
                       ξ−µ          ξ−µ
                   E     σ
                             , D      σ
                                           ?

 Z 3 Если с.в. можно представить в виде суммы независимых с.в., нужно
     обязательно этим воспользоваться.

   Пример 2.        Найдем м.о. и дисперсию времени ожидания
второго успеха в схеме Бернулли (распределения Паскаля).
   Решение. При изучении свертки двух распределений мы пока-
зали, что данная с.в. может рассматриваться как сумма двух неза-
висимых геометрических с.в. Найдем сначала характеристики с.в.
                                                    ­       ®
ξ v Geo(p). Носитель ξ есть натуральный ряд X = 1, 2, . . . , а
вероятность, с которой ξ принимает значение k, равна p(1−p)k−1.
Поэтому
                               P∞
                    µ = Eξ = p    k (1 − p)k−1.
                                 k=1

Страницы