Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 177
чение этой с.в., а тем более дисперсия, не существуют:
E ξ =
∞
X
k=1
k
6
(
π
k)
2
=
6
π
2
∞
X
k=1
1
k
= ∞ −
гармонический ряд, как ни прискорбно
¡
¸
Ä
oo
_
¢
, расходится.
4. Найдите средние значения и дисперсии всех дискретных
с.в., приведенных в таблице на с. 146 . Не забудьте про замеча-
ние Z 3 !
Пример 4. При вычислении моментов некоторых абсо-
лютно непрерывных распределений полезно вспомнить о гамма–
и бета–функциях (см. Приложение, с.215). Найдем, например, м.о.
и дисперсию с.в. ξ v E(1).
Решение. Начинаем всегда с анализа носителя! Для экспонен-
циального закона он равен положительной части R
1
, поэтому
E ξ
k
def
=
∞
Z
−∞
x
k
f
ξ
(x) dx
с учетом
=====
носителя
∞
Z
0
x
k
e
−x
dx = Γ(k + 1) = k! .
Таким образом, м.о. µ = 1 , а дисперсия σ
2
= E ξ
2
−µ
2
= 2!−1 = 1.
5. Применив соответствующее линейное преобразование (см.
задачу 14, с. 147), найдите числовые характеристики распределе-
ния E(λ).
6. Найдите средние значения и дисперсии всех непрерывных
с.в., приведенных в таблице на с. 146 :
a) ξ v U(A, B); b) ξ v G(p, λ); c) ξ v C(µ, σ);
d) ξ v N(µ, σ
2
); e) ξ v B(p, q).
                                  Теория и примеры                               177


чение этой с.в., а тем более дисперсия, не существуют:
                        ∞
                        X                          ∞
                                                   X
                                    6         6      1
                Eξ =          k           =                   = ∞ −
                                  (πk)2       π2         k
                        k=1                        k=1
                                     ¡ ¢
гармонический ряд, как ни прискорбно Äo_
                                       ¸o , расходится.


      4. Найдите средние значения и дисперсии всех дискретных
с.в., приведенных в таблице на с. 146 . Не забудьте про замеча-
ние Z 3 !


    Пример 4.       При вычислении моментов некоторых абсо-
лютно непрерывных распределений полезно вспомнить о гамма–
и бета–функциях (см. Приложение, с.215). Найдем, например, м.о.
и дисперсию с.в. ξ v E(1).
   Решение. Начинаем всегда с анализа носителя! Для экспонен-
циального закона он равен положительной части R 1, поэтому
               Z∞                                  Z∞
         def                         с учетом
 E ξk    =          xk fξ (x) dx     =====               xk e−xdx = Γ(k + 1) = k! .
                                     носителя
               −∞                                  0

Таким образом, м.о. µ = 1, а дисперсия σ 2 = E ξ 2 −µ2 = 2!−1 = 1.

     5. Применив соответствующее линейное преобразование (см.
задачу 14, с. 147), найдите числовые характеристики распределе-
ния E(λ).
      6. Найдите средние значения и дисперсии всех непрерывных
с.в., приведенных в таблице на с. 146 :
    a)   ξ v U(A, B);         b)    ξ v G(p, λ);             c)   ξ v C(µ, σ);
    d)   ξ v N(µ, σ 2);       e)    ξ v B(p, q).

Страницы