Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

178 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
Пример 5. Найдем среднее значение и дисперсию суммы
ξ + η, если вектор (ξ, η) v U(X), где носитель распределения
X — треугольник с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0).
Решение (I). Так как площадь носителя равна
1
/
2
, то функ-
ция пл.в. f(x, y) = 2, (x, y) ∈ X, и поэтому k -й момент
E(ξ + η)
k
def
=
ZZ
R
2
(x + y)
k
f(x, y) dx dy = 2
ZZ
X
(x + y)
k
dx dy .
Расставив пределы интегрирования, легко находим
E(ξ + η)
k
= 2
1
Z
0
dx
1−x
Z
0
(x + y)
k
dy =
2
k + 1
1
Z
0
(x + y)
k+1
¯
¯
¯
1−x
y=0
dx
=
2
k + 1
1
Z
0
(1 − x
k+1
) dx =
2
k + 1
³
1 −
1
k + 2
´
=
2
k + 2
.
Таким образом, искомые среднее значение и дисперсия равны
µ = E(ξ + η) =
2
3
, D(ξ + η) =
2
4
−
³
2
3
´
2
=
1
18
.
Решение (II). Предварительно найдем плотность вероятно-
стей ζ = ξ + η. Для этого сначала найдем ее ф.р.
F
ζ
(t) = P {ζ < t} = P {ξ + η < t}.
Область {x + y < t} пересекает носитель X
только при 0 6 t 6 1, причем площадь этой
области равна
t
2
/
2
. Поэтому ф.р. и пл.в. ζ
равны F
ζ
(t) = t
2
и f
ζ
(t) = 2t, 0 6 t 6 1.
-
6
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
t0 1
1
x
y
X
¡
¡ª
Следовательно, м.о. ζ равно
µ = E ζ =
Z
∞
−∞
t f
ζ
(t) dx = 2
Z
1
0
t
2
dt =
2
3
,
а второй момент E ζ
2
= 2
Z
1
0
t
3
dt =
1
2
.
 178          Тема      VII. Числовые характеристики случайных величин




   Пример 5. Найдем среднее значение и дисперсию суммы
ξ + η, если вектор (ξ, η) v U(X ), где носитель распределения
X — треугольник с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0).
   Решение (I). Так как площадь носителя равна 1/2 , то функ-
ция пл.в. f (x, y) = 2, (x, y) ∈ X , и поэтому k -й момент
                ZZ                              ZZ
            def
  E(ξ + η)k =       (x + y)k f (x, y) dx dy = 2    (x + y)k dx dy .
                  R2                                                X
Расставив пределы интегрирования, легко находим
               Z1   Z1−x                 Z1            ¯1−x
         k                  k         2            k+1 ¯
 E(ξ + η) = 2 dx (x + y) dy =               (x + y) ¯       dx
                                                        k+1                               y=0
                   0         0                                  0
                        Z1                                      ³                ´
                   2                     k+1             2               1                   2
              =              (1 − x            ) dx =            1−                  =          .
                  k+1                                   k+1             k+2                 k+2
                        0
       Таким образом, искомые среднее значение и дисперсия равны
                                               ³ ´2
                         2                 2     2      1
          µ = E(ξ + η) = ,     D(ξ + η) = −          =    .
                                 3                          4           3            18
   Решение (II). Предварительно найдем плотность вероятно-
стей ζ = ξ + η. Для этого сначала найдем ее ф.р.
          Fζ (t) = P {ζ < t} = P {ξ + η < t} .                               y
                                                                            16
Область {x + y < t} пересекает носитель X                                    @
                                                                               @     X
                                                                                 @¡
только при 0 6 t 6 1, причем площадь этой                                   @
                                                                              @
                                                                                  ¡
                                                                                  ª
                                                                                   @
                                                                                     @
области равна t2/2 . Поэтому ф.р. и пл.в. ζ                                     @
                                                                                      @
                                                                                        @ -x
                                                                                 @
                                                                                   @
равны Fζ (t) = t2 и fζ (t) = 2t, 0 6 t 6 1.                                 0        t          1
Следовательно, м.о. ζ равно
                      Z                Z
                                     ∞                      1                2
               µ = Eζ =          t fζ (t) dx = 2    t2 dt = ,
                             −∞ Z                 0        3
                                      1         1
а второй момент          E ζ2 = 2       t3 dt = .
                                           0            2

Страницы