Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

180 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
По таблице этого распределения наиболее вероятные значения,
которые может принимать с.в., равны 4 и 5. Оба эти значения мо-
гут быть выбраны в качестве моды.
Моду распределения Пуассона можно найти в общем случае.
Для этого отношение двух соседних вероятностей сравним с 1:
1 >
p
k+1
p
k
=
λ
k+1
e
−λ
k!
(k + 1)! λ
k
e
−λ
=
λ
k + 1
.
Таким образом, при k > λ −1 пуассоновские вероятности убы-
вают ( p
k+1
< p
k
), а при k < λ−1 возрастают. Следовательно, если
λ — не целое число, то мода равна целой части λ. При целом λ
распределение имеет две моды λ − 1 и λ.
8.
>
Попытка определения моды абсолютно непрерывного рас-
пределения по аналогии с дискретным не совсем корректна. Приве-
дите пример непрерывной пл.в., для которой не только sup
x
f(x) =
∞, но и ,,достигается‘‘ это значение на x = ∞.
9. Пусть ξ имеет симметричное распределение относительно
a : (ξ − a) v (a − ξ) (см. задачу 7, с. 145). Докажите, что
i) точка a может быть выбрана в качестве медианы;
ii) E ξ = a, если м.о. существует.
Коэффициент корреляции между с.в. ξ, η равен
ρ = ρ(ξ, η) = Corr(ξ, η) :=
E
¡
(ξ − µ
ξ
)(η − µ
η
)
¢
√
D ξ D η
,
где µ
ξ
= E ξ, µ
η
= E η.
Z 6 Коэффициент корреляции выступает в роли коэффициента линейной
связности между с.в. Он показывает, насколько точно можно предска-
зать (посредством линейной функции) значение одной с.в. по значе-
нию другой с.в. Ошибка такого прогноза пропорциональна
p
1 − ρ
2
.
 180         Тема   VII. Числовые характеристики случайных величин


   По таблице этого распределения наиболее вероятные значения,
которые может принимать с.в., равны 4 и 5. Оба эти значения мо-
гут быть выбраны в качестве моды.
   Моду распределения Пуассона можно найти в общем случае.
Для этого отношение двух соседних вероятностей сравним с 1:
                    pk+1     λk+1e−λ k!      λ
                 1>      =                =      .
                     pk    (k + 1)! λk e−λ k + 1
   Таким образом, при k > λ − 1 пуассоновские вероятности убы-
вают ( pk+1 < pk ), а при k < λ−1 возрастают. Следовательно, если
λ — не целое число, то мода равна целой части λ. При целом λ
распределение имеет две моды λ − 1 и λ.

     8.> Попытка определения моды абсолютно непрерывного рас-
пределения по аналогии с дискретным не совсем корректна. Приве-
дите пример непрерывной пл.в., для которой не только supx f (x) =
∞, но и ,,достигается‘‘ это значение на x = ∞.
     9. Пусть ξ имеет симметричное распределение относительно
a : (ξ − a) v (a − ξ) (см. задачу 7, с. 145). Докажите, что
        i) точка a может быть выбрана в качестве медианы;
       ii) E ξ = a, если м.о. существует.

  Коэффициент корреляции между с.в. ξ, η равен
                                      ¡                   ¢
                                     E (ξ − µξ )(η − µη )
         ρ = ρ(ξ, η) = Corr(ξ, η) :=      √                 ,
                                           Dξ Dη
  где µξ = E ξ, µη = E η.


 Z 6 Коэффициент корреляции выступает в роли коэффициента линейной
     связности между с.в. Он показывает, насколько точно можно предска-
     зать (посредством линейной функции) значение одной с.в. pпо значе-
     нию другой с.в. Ошибка такого прогноза пропорциональна 1 − ρ2 .

Страницы