Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 181
10. Докажите, что дисперсия суммы двух (не обязательно
независимых) с.в.
D(ξ + η) = D ξ + D η + 2ρ(ξ, η)
√
D ξ D η .
11. Докажите, что
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
коэффициент ковариации (числитель ρ )
Cov(ξ, η) := E
¡
(ξ − µ
ξ
)(η − µ
η
)
¢
= E(ξη) − µ
ξ
µ
η
.
Чему равна ковариация Cov(ξ, ξ) ?
12. Докажите основные свойства коэффициента корреляции.
(1) |ρ(ξ, η)| 6 1.
(2) ρ(ξ, η) = ±1 только тогда, когда между ξ и η су-
ществует строгая линейная зависимость: ξ
п.н.
= b η + d, причем
sign(b) = sign(ρ).
Подсказка. Рассмотрите E ξ = E η = 0, D ξ = D η = 1;
воспользуйтесь тем, что E(ξ −ρ ·η)
2
> 0; примените свойство (4).
(3) Если с.в. ξ, η независимы, тогда ρ(ξ, η) = 0.
Kонтрпример обратного — см. задачу 13 ниже.
(4) ρ(ξ, η) = ρ(a ξ + c, b η + d) при любых c, d и a · b > 0,
то есть коэффициент корреляции не изменяется при (однонаправ-
ленных) линейных преобразованиях с.в.
Как изменится коэффициент корреляции, если ab < 0 ?
Пример 7. Вычислим коэффициент корреляции между с.в.
ξ и η из примера 5, с. 178?
Решение. Найдем общий вид смешанных моментов с.в. E ξ
k
η
m
,
воспользовавшись основным представлением для бета–функции:
                         Теория и примеры                         181


    10. Докажите, что дисперсия суммы двух (не обязательно
независимых) с.в.

                                           √
            D(ξ + η) = D ξ + D η + 2ρ(ξ, η) D ξ D η .


   11. Докажите, что коэффициент ковариации (числитель ρ )
                     vvvvvvvvvvvvvvvvvvvv
                    ¡                  ¢
      Cov(ξ, η) := E (ξ − µξ )(η − µη )     =   E(ξη) − µξ µη .

   Чему равна ковариация Cov(ξ, ξ) ?
   12.   Докажите основные свойства коэффициента корреляции.
    (1) |ρ(ξ, η)| 6 1.
    (2) ρ(ξ, η) = ±1 только тогда, когда между ξ и η су-
                                         п.н.
ществует строгая линейная зависимость: ξ = b η + d, причем
sign(b) = sign(ρ).
   Подсказка. Рассмотрите E ξ = E η = 0, D ξ = D η = 1;
воспользуйтесь тем, что E(ξ − ρ · η)2 > 0; примените свойство (4).
    (3) Если с.в. ξ, η независимы, тогда ρ(ξ, η) = 0.
     Kонтрпример обратного — см. задачу 13 ниже.
    (4) ρ(ξ, η) = ρ(a ξ + c, b η + d) при любых c, d и a · b > 0,
то есть коэффициент корреляции не изменяется при (однонаправ-
ленных) линейных преобразованиях с.в.
    Как изменится коэффициент корреляции, если ab < 0 ?


   Пример 7. Вычислим коэффициент корреляции между с.в.
ξ и η из примера 5, с. 178?
   Решение. Найдем общий вид смешанных моментов с.в. E ξ k η m,
воспользовавшись основным представлением для бета–функции:

Страницы