Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

182 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин
E ξ
k
η
m
=
ZZ
R
2
x
k
y
m
f(x, y) dx dy = 2
1
Z
0
y
m
dy
1−y
Z
0
x
k
dx =
=
2
k + 1
1
Z
0
y
m
(1 − y)
k+1
dy =
2
k + 1
B(m + 1, k + 2) =
=
2
k + 1
Γ(m + 1)Γ(k + 2)
Γ(k + m + 3)
= 2
m! k!
(k + m + 2)!
.
Таким образом, среднее значение ξ (при k = 1, m = 0 ) и
дисперсия ξ (при k = 2, m = 0 ) равны соответственно
µ
ξ
= 2
0! 1!
3!
=
1
3
, D ξ = 2
0! 2!
4!
−
³
1
3
´
2
=
1
6
−
1
9
=
1
18
.
Среднее значение и дисперсия η, очевидно, совпадают с ана-
логичными характеристиками ξ. Второй смешанный момент (при
k = 1, m = 1 )
E ξη = 2
1! 1!
4!
=
1
12
,
а коэффициент ковариации Cov(ξ, η) =
1
12
−
1
3
·
1
3
= −
1
36
.
Следовательно, коэффициент корреляции равен
ρ(ξ, η) =
−
1
36
q
1
18
·
1
18
= −
1
2
.
13. (a) Чему равен коэффициент корреляции между с.в. ξ, η,
если вектор (ξ, η) v U(X), где область X — единичный круг
{x
2
+ y
2
6 1}?
(b) Будут ли эти с.в. независимы?
182               Тема      VII. Числовые характеристики случайных величин




                   ZZ                                        Z1             Z1−y
  E ξ k ηm =                xk y m f (x, y) dx dy = 2                y m dy     xk dx =
                   R2                                        0                   0
                            Z1
                    2                                         2
              =                  y m(1 − y)k+1 dy =              B(m + 1, k                      + 2) =
                   k+1                                       k+1
                             0

                     2 Γ(m + 1)Γ(k + 2)                          m! k!
              =                                       = 2                 .
                   k + 1 Γ(k + m + 3)                        (k + m + 2)!

   Таким образом, среднее значение ξ (при k = 1, m = 0 ) и
дисперсия ξ (при k = 2, m = 0 ) равны соответственно
                                                             ³ ´2
          0! 1!         1                        0! 2!           1                   1       1        1
 µξ = 2            =        ,      Dξ = 2                −                   =           −        =        .
           3!           3                         4!             3                   6       9        18

   Среднее значение и дисперсия η, очевидно, совпадают с ана-
логичными характеристиками ξ. Второй смешанный момент (при
k = 1, m = 1 )
                                            1! 1!            1
                                 E ξη = 2                =           ,
                                             4!              12
                                      1
а коэффициент ковариации Cov(ξ, η) = 12 − 31 · 13 = − 36
                                                      1
                                                         .
   Следовательно, коэффициент корреляции равен
                                            1
                                          − 36                           1
                            ρ(ξ, η) = q                      = −             .
                                            1         1                  2
                                            18
                                                  ·   18


    13. (a) Чему равен коэффициент корреляции между с.в. ξ, η,
если вектор (ξ, η) v U(X ), где область X — единичный круг
{x2 + y 2 6 1} ?
     (b) Будут ли эти с.в. независимы?

Страницы